Question

已知關于x的方程x²-（k+2）x+2k=0，若等腰三角形邊長a=1，另兩邊長b、c恰好是這個方程的兩個根，則△ABC的周長是

 

．

Answer 1

考點：一元二次方程的應用

專題：

分析：已知a=1，則a可能是底，也可能是腰，分兩種情況求得b，c的值后，再求出△ABC的周長．注意兩種情況都要用三角形三邊關系定理進行檢驗．

解答：解：①若a=1為底邊，則b，c為腰長，則b=c，則△=0．
∴b²-4ac=[-（k+2）]²-4×1×2k=0，
解得：k=2．
此時原方程化為x²-4x+4=0
∴x₁=x₂=2，即b=c=2．
此時△ABC三邊為1，2，2能構成三角形，
∴△ABC的周長為：1+2+2=5；
②若a=b為腰，則b，c中一邊為腰，不妨設b=a=1
代入方程：x²-（k+2）x+2k=0得：1²-（k+2）+2=0
∴解得：k=1，
∵x₁×x₂=bc=2k=2=3c，
∴c=

2

3

，
∴△ABC的周長為：1+1+

2

3

=

8

3

，
故答案為：5或

8

3

．

點評：此題主要考查了一元二次方程的應用、根的判別式及三角形三邊關系定理，注意求出三角形的三邊后，要用三邊關系定理檢驗．