Question

（2010•樂山）如圖所示，拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，2），連接AC，若tan∠OAC=2．
（1）求拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的解析式；
（2）在拋物線的對(duì)稱軸l上是否存在點(diǎn)P，使∠APC=90°？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）如圖所示，連接BC，M是線段BC上（不與B、C重合）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作直線l′∥l，交拋物線于點(diǎn)N，連接CN、BN，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為t．當(dāng)t為何值時(shí)，△BCN的面積最大？最大面積為多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）已知了C點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到OC的長，根據(jù)∠OAC的正切值即可求出OA的長，由此可得到A點(diǎn)的坐標(biāo)，將A、C的坐標(biāo)代入拋物線中，即可確定該二次函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)拋物線的解析式即可確定其對(duì)稱軸方程，由此可得到點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若∠APC=90°，則∠PAE和∠CPD是同角的余角，因此兩角相等，則它們的正切值也相等，由此可求出線段PE的長，即可得到點(diǎn)P點(diǎn)的坐標(biāo)；（用相似三角形求解亦可）
（3）根據(jù)B、C的坐標(biāo)易求得直線BC的解析式，已知了點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為t，根據(jù)直線BC和拋物線的解析式，即可用t表示出M、N的縱坐標(biāo)，由此可求得MN的長，以MN為底，B點(diǎn)橫坐標(biāo)的絕對(duì)值為高，即可求出△BNC的面積（或者理解為△BNC的面積是△CMN和△MNB的面積和），由此可得到關(guān)于S（△BNC的面積）、t的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)即可求得S的最大值及對(duì)應(yīng)的t的值．
解答：解：（1）∵拋物線y=x²+bx+c過點(diǎn)C（0，2），
∴x=2；
又∵tan∠OAC==2，
∴OA=1，即A（1，0）；
又∵點(diǎn)A在拋物線y=x²+bx+2上，
∴0=1²+b×1+2，b=-3；
∴拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的解析式為y=x²-3x+2；

（2）存在．
過點(diǎn)C作對(duì)稱軸l的垂線，垂足為D，如圖所示，
∴x=-；
∴AE=OE-OA=-1=，
∵∠APC=90°，
∴tan∠PAE=tan∠CPD，
∴，即=，
解得PE=或PE=，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）或（，）．（備注：可以用勾股定理或相似解答）

（3）如圖所示，易得直線BC的解析式為：y=-x+2，
∵點(diǎn)M是直線l′和線段BC的交點(diǎn)，
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（t，-t+2）（0＜t＜2），
∴MN=-t+2-（t²-3t+2）=-t²+2t，
∴S_△BCN=S_△MNC+S_△MNB=MN?t+MN?（2-t），
=MN?（t+2-t）=MN=-t²+2t（0＜t＜2），
∴S_△BCN=-t²+2t=-（t-1）²+1，
∴當(dāng)t=1時(shí)，S_△BCN的最大值為1．
備注：如果沒有考慮取值范圍，可以不扣分．
點(diǎn)評(píng)：此題是二次函數(shù)的綜合題，主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、相似三角形的性質(zhì)、解直角三角形、函數(shù)圖象交點(diǎn)以及圖形面積的求法等重要知識(shí)點(diǎn)；能夠?qū)�圖形面積最大（小）問題轉(zhuǎn)換為二次函數(shù)的最值問題是解答（3）題的關(guān)鍵．