Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，AC＝4cm，BC＝3cm，點(diǎn)P由B出發(fā)沿BA的方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，同時(shí)點(diǎn)Q由A出發(fā)沿AC的方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s，連接PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s），其中0＜t＜2，解答下列問(wèn)題：

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，以P、Q、A為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？

（2）是否存在某一時(shí)刻t，線段PQ將△ABC的面積分成1：2兩部分？若存在，求出此時(shí)的t，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，△CPQ能否成為等腰三角形？若能，請(qǐng)求出此時(shí)t的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）t＝或；（2）存在，t＝；（3）能，t＝或t＝．

【解析】

試題分析：（1）分兩種情況討論：①當(dāng)∠PQA=∠C=90時(shí)，△PQA∽△BCA，由題意得：AB=5，PB=t，PA=5-t，AQ=2t，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，即，求出t值；②當(dāng)∠QPA=∠C=90時(shí)，△PQA∽△CBA，由題意得：PA=5-t，AQ=2t，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，即，求出t值；（2）先把三角形ABC的面積求出來(lái)，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥CA，垂足為點(diǎn)H，利用三角形相似把高PH用含有t的式子表示出來(lái)，再把三角形APQ的面積用含有t的式子表示出來(lái)，若線段PQ將△ABC的面積能分成1：2兩部分，則三角形APQ的面積等于△ABC面積的三分之一，或者三分之二，建立方程求解；（3）當(dāng)△CPQ為等腰三角形時(shí)，分三種情況討論：①當(dāng)PC＝PQ時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥CA，垂足為點(diǎn)H，利用△PHA∽△BCA，建立對(duì)應(yīng)邊成比例求出t值；②當(dāng)CP＝CQ時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥CB，垂足為點(diǎn)M，由△BMP∽△BCA可得：BM＝t，MP＝t，∴CM＝3－t．在Rt△PMC 中，由勾股定理建立關(guān)于t的一元二次方程，求得t值，并討論t值是否符合題意；③當(dāng)QP＝QC時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作PN⊥AB，垂足為點(diǎn)N，由△AQN∽△ABC可得：NQ＝t，NA＝t， ∴PN＝5－t－t＝5－t．在Rt△QNP 中，由勾股定理建立關(guān)于t的一元二次方程，看是否存在t值且符合題意．

試題解析：（1）先由勾股定理算得AB=5，分兩種情況討論：①如圖1，

當(dāng)△PQA∽△BCA時(shí)，∠PQA=∠C=90，PQ∥BC，AB=5，PB=t，PA=5-t，AQ=2t，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，即，有 ＝， ∴ t＝；②如圖2，

當(dāng)∠QPA=∠C=90時(shí)，△PQA∽△CBA，由題意得：PA=5-t，AQ=2t，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，即，有＝ ，∴t＝．又∵0＜t＜2，∴t＝或都符合題意，所以當(dāng)t＝或時(shí)，以P、Q、A為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．（2）過(guò)點(diǎn)P作PH⊥CA，垂足為點(diǎn)H，如圖3：

則有△PHA∽△BCA， 對(duì)應(yīng)邊成比例：即 ＝，∴PH＝（5－t）．∴S△APQ＝×2t×（5－t）＝－t2＋3t．而S△ABC=3×4÷2=6，若線段PQ將△ABC的面積分成1：2兩部分，則S△APQ＝ S△ABC＝×6＝2或S△APQ＝ S△ABC＝×6＝4，即：－t2＋3t＝2或－t2＋3t＝4．①當(dāng)－t2＋3t＝2時(shí)，整理得：3t2－15t＋10＝0，t 1＝ （t 1＝＞2）（不合題意舍去），t 2＝ ，∴t= 時(shí)線段PQ將△ABC的面積分成1：2兩部分；②當(dāng)－t2＋3t＝4時(shí)，整理得：3t2－15t＋20＝0，∵△＜0，∴t無(wú)解．綜上所述t＝時(shí)線段PQ將△ABC的面積分成1：2兩部分；

（3）若△CPQ為等腰三角形，則分三種情況討論：①如圖4，

當(dāng)PC＝PQ時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥CA，垂足為點(diǎn)H，由三線合一可知：HQ＝（4-2t）÷2=2－t，又△PHA∽△BCA，所以，即 = ，解得：t＝；②如圖5，

當(dāng)CP＝CQ時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥CB，垂足為點(diǎn)M，由△BMP∽△BCA可知：，即BM＝t，，即MP＝t，∴CM＝3－t．在Rt△PMC中，PC=CQ=4-2t，由勾股定理得：（t）2＋（3－t）2＝（4－2t）2，整理得：15t2－62t＋35＝0，∴t＝，即t1＝，t 2＝，∵t 1＝＞2．∴t 1＝（舍去），∴t＝．③如圖6，

當(dāng)QP＝QC=4-2t時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作PN⊥AB，垂足為點(diǎn)N，由△AQN∽△ABC可知：NQ＝t，NA＝t， ∴PN＝5－t－t＝5－t．在Rt△QNP 中，由勾股定理得：（t）2＋（5－t）2＝（4－2t）2 ，整理得：21t2－50t＋45＝0，∵△＝－1280＜0 ，∴t無(wú)解．綜上所述當(dāng)t＝或t＝時(shí)，△CPQ是等腰三角形．