Question

如圖，己知雙曲線(xiàn)y＝(x>0)與經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，0)、B(0，1)的直線(xiàn)交于P、Q兩點(diǎn)，連結(jié)OP、OQ．
(1)求△OPQ的面積．
(2)試說(shuō)明：△OAQ≌△OBP
(3)若C是OA上不與O、A重合的任意一點(diǎn)，CA＝a(0<a<1)，CD⊥AB于D，DE⊥OB于E．
①a為何值時(shí)，CE＝AC?
②線(xiàn)段OA上是否存在點(diǎn)C，使CE∥AB?若存在這樣的點(diǎn)，請(qǐng)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）∵A（1,0）B（0,1）
∴OB=OA，∠OBA=∠OAB，直線(xiàn)AB的解析式為y=-x+1
∵雙曲線(xiàn)（x＞0）與經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B的直線(xiàn)交于P、Q兩點(diǎn)
∴ 
∵
∴
(2) 由（1）得
∵A（1,0）B（0,1）
∴PB=AQ
∵OB=OA，∠OBA=∠OAB
∴△OAQ≌△OBP
（3）①解：作DF⊥AO
易得OEFD為矩形
等腰直角三角形ACD中，
∴
在直角三角形EOC中，
若CE=AC，則
∴
解之得或
∵0<a<1
∴
②若CE∥AB，則有∠ECO=∠OEC=∠B=∠A=45°
∴OE=OC=1-a
作DF⊥AO
易得OEFD為矩形
等腰直角三角形ACD中，
∴
∴
解之得
∴

（1）直接求三角形的面積較繁，此題用補(bǔ)的方法求較容易，把△OPQ補(bǔ)成△AOB
減去△BOP和△AOQ的面積即可
（2）利用點(diǎn)的坐標(biāo)，求出線(xiàn)段長(zhǎng)，找出三角形全等的條件
（3）作輔助線(xiàn)，結(jié)合勾股定理，用a的代數(shù)式表示CE，根據(jù)CE＝AC，列出a的方程即可；根據(jù)CE∥AB，等腰三角形的三線(xiàn)合一，直角三角形斜邊的中線(xiàn)等于斜邊的一半，列出a的方程即可