Question

如圖，在矩形OABC中，OA＝8，OC＝4，OA、OC分別在x軸與y軸上，D為OA上一點(diǎn)，且CD＝AD．

（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）若經(jīng)過B、C、D三點(diǎn)的拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)為E，請直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）在（2）中的拋物線上位于x軸上方的部分，是否存在一點(diǎn)P，使△PBC的面積等于梯形DCBE的面積？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）D（3，0）；（2）E（5，0）；（3）不存在

試題分析：（1）設(shè)OD＝x，則AD＝CD＝8－x ，在Rt△OCD中，根據(jù)勾股定理即可列方程求解；
（2）由題意知，拋物線的對稱軸為直線x＝4，根據(jù)拋物線的對稱性即可求得結(jié)果；
（3）若存在這樣的P，則由S_梯形＝20得S_△PBC＝·BC·h＝20可求得h＝5，根據(jù)待定系數(shù)法求得拋物線函數(shù)關(guān)系式，從而得到頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到頂點(diǎn)到BC的距離為4＋＝＜5，即可作出判斷.
（1）設(shè)OD＝x，則AD＝CD＝8－x
Rt△OCD中，(8－x)²＝x²＋4²，得x＝3    
∴OD＝3
∴D（3，0）    
（2）由題意知，拋物線的對稱軸為直線x＝4     
∵D（3，0）， ∴另一交點(diǎn)E（5，0）
（3）若存在這樣的P，則由S_梯形＝20得S_△PBC＝·BC·h＝20．
∴h＝5
∵B（8，－4）， C（0，－4）， D（3，0）
∴該拋物線函數(shù)關(guān)系式為：y＝－x²＋x－4． 
頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，）
∴頂點(diǎn)到BC的距離為4＋＝＜5      
∴不存在這樣的點(diǎn)P， 使得△PBC的面積等于梯形DCBE的面積．
點(diǎn)評：本題知識點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)，難度較大，一般是中考壓軸題，主要考查學(xué)生對二次函數(shù)的熟練掌握情況.