Question

已知⊙O₁與⊙O₂相交于A、B，CD⊥AB交⊙O₁于C，交⊙O₂于D，連接AC、AD．
（1）求證：AC、AD分別是⊙O₁、⊙O₂的直徑．
（2）連接O₁O₂、O₂B，當AC=AD時，求證：四邊形O₁CBO₂為平行四邊形．
（3）當AC=AD時，過B的直線交于E，交于F（圖（2）），判定∠AEB與∠AFB的大小關系并證明．

Answer 1

（1）證明：如圖（1），∵CD⊥AB，
∴∠ABC=90°．
∴AC是⊙O₁的直徑．
同理，可知AD是⊙O₂的直徑．

（2）證明：如圖（1），連接O₂B．
由（1）知，AD是⊙O₂的直徑．
∵AC=AD，
∵CD⊥AB，
∴CB=BD．
∵O₁、O₂分別是AC、AD的中點，
∴O₁O₂∥CD且O₁O₂=CD=CB．即O₁O₂∥CB且O₁O₂=CB．
∴四邊形O₁CBO₂是平行四邊形．

（3）∠AEB=∠AFB．理由如下：
∵AC=AD，
∴⊙O₁與⊙O₂是等圓．
∴∠AEB=∠AFB（在等圓中，等弧所對的圓周角相等），即∠AEB與∠AFB相等．
分析：（1）由CD⊥AB易得AC是⊙O₁的直徑（圓內(nèi)直角所對的弦是直徑）；
（2）根據(jù)中位線定理求得O₁O₂∥CD且O₁O₂=CD=CB，所以四邊形O₁CBO₂是平行四邊形；
（3）根據(jù)已知條件“AC=AD”推知⊙O₁與⊙O₂是等圓，然后根據(jù)圓周角定理證得∠AEB與∠AFB相等．
點評：本題考查了圓的綜合題．在證明（3）時，需要熟記“在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等”這一圓周角定理．