Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知二次函數(shù)y＝x²＋mx＋n的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2，0)和點(diǎn)B(1，－)，直線l經(jīng)過(guò)拋物線的頂點(diǎn)且與y軸垂直，垂足為Q．

(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)設(shè)拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B處出發(fā)沿拋物線向上運(yùn)動(dòng)，其縱坐標(biāo)y₁隨時(shí)間t(t≥0)的變化規(guī)律為y₁＝－＋2t．現(xiàn)以線段OP為直徑作⊙C．

①當(dāng)點(diǎn)P在起始位置點(diǎn)B處時(shí)，試判斷直線l與⊙C的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，直線l與⊙C是否始終保持這種位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明你的理由；

②若在點(diǎn)P開(kāi)始運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，直線l也向上平行移動(dòng)，且垂足Q的縱坐標(biāo)y₂隨時(shí)間t的變化規(guī)律為y₂＝－1＋3t，則當(dāng)t在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，直線l與⊙C相交？此時(shí)，若直線l被⊙C所截得的弦長(zhǎng)為a，試求a²的最大值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)將點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得，解得， 　　∴二次函數(shù)的表達(dá)式為；3分 　　(2)①當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)處時(shí)，直線與相切，理由如下： 　　∵點(diǎn)，∴圓心的坐標(biāo)為，∴的半徑為， 　　又拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－1)，即直線l上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)均為－1，從而圓心C到直線l的距離為，∴直線與相切；5分 　　在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，直線與始終保持相切的位置關(guān)系，理由如下： 　　方法一：設(shè)點(diǎn)，則圓心的坐標(biāo)為，∴圓心C到直線l的距離為，又∵，∴，則的半徑為， 　　∴直線與始終相切．7分 　　方法二：設(shè)點(diǎn)≥1)，則圓心的坐標(biāo)為，∴的半徑為，而圓心C到直線l的距離為，∴直線與始終相切．7分 　　②由①知，圓C的半徑為． 　　又∵圓心C的縱坐標(biāo)為，直線l上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，所以 　　(ⅰ)當(dāng)≥，即≤時(shí)，圓心C到直線l的距離為，則由，得，解得， 　　∴此時(shí)≤；8分 　　(ⅱ)當(dāng)＜，即＞時(shí)，圓心C到直線l的距離為，則由，得，解得， 　　∴此時(shí)＜； 　　綜上所述，當(dāng)時(shí)，直線與相交．9分 　　(說(shuō)明：若學(xué)生就寫(xiě)成≤或＜，得全分；若學(xué)生依據(jù)直觀，只考慮圓心C在直線l下方的情況，解出后，就得，也給全分) 　　∵當(dāng)時(shí)，圓心C到直線l的距離為，又半徑為， 　　∴，11分 　　∴當(dāng)時(shí)，取得最大值為．12