Question

已知：如圖，在直角坐標系中，直線AB交y軸于點A，交x軸于點B，其解析式為y=-x+2．又O₁是x軸上一點，且⊙O₁與直線AB切于點C，與y軸切于原點O．
（1）求點C的縱坐標；
（2）以AO為直徑作⊙O₂，交直線AB于D，交⊙O₁于N，連ON并延長交CD于G，求△ODG的面積；
（3）另有一圓過點O₁，與y軸切于點O₂，與直線AB交于M、P兩點，求證：O₁M•O₁P=2．

Answer 1

（1）解：由y=-x+2，得OA=2，OB=
∴AB=，
由AC=2，得CB=，
過C點作CH⊥x軸，垂足為H，得CH∥y軸，
則，
CH=，即點C的縱坐標為．

（2）解：∵OA為⊙O₂的直徑，
∴OD⊥AB，
由OD•AB=OA•0B，得OD=，
則AD==，
CD=2-=．
設DG=x，由切割線定理得GD•GA=GN•GO．
∴x（x+）=（-x）²．解得：x=，∴DG=，
∴S_△ODG=OD•DG=．

（3）證明：連接O₁C，設⊙O₁半徑為r，
將C點縱坐標代入y=-x+2，得x=，
∴OH=，O₁H=-r．
在Rt△CHO₁中，由勾股定理得．
故⊙O₁和⊙O₂都是半徑為1的等圓，
過點O₁且與y軸切于點O₂的圓是以N為圓心，1為半徑的圓．
作⊙N的直徑O₁Q，連接PQ．O₁Q=2，O₁C=1．
∵∠PQO₁=∠CMO₁，
∴Rt△PQO₁∽Rt△CMO₁，
∴，
∴O₁M•O₁P=O₁Q•O₁C=2×1=2．
分析：（1）由解析式解出兩點的坐標，過C點作CH垂直x軸，進而求縱橫坐標．
（2）設直線AB與⊙O₂的交點為D連接兩點，求出CD，然后求出DG，從而求出面積．
（3）連接O₁C，設⊙O₁半徑為r，由相似定理，進而證明．
點評：本題主要考查一次函數(shù)的應用，本題比較煩，計算和證明都要仔細．