Question

如圖所示，E是邊長(zhǎng)為12的正方形ABCD中CD上任意一點(diǎn)，以點(diǎn)A為中心，將△ADE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ABF的位置，設(shè)DE=t
（1）用含t的代數(shù)式表示：△ABF的面積為S₁，△CEF的面積為S₂和△AEF的面積為S；
（2）求證：①S₃＞S₂ ，②S₃≥2S₁；
（3）若CE、DE的長(zhǎng)度是關(guān)于x的一元二次方程x²-mx+3m-1-=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求AF的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形的邊長(zhǎng)為12，DE=t，分別表示出BF、FC、EC的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形的面積公式

底×高

2

列出算式即可；
（2）根據(jù)（1）求出的S₃、S₂、S₁的結(jié)果，分別代入S₃-S₂和S₃-2S₁，然后判斷出S₃-S₂和S₃-2S₁的符號(hào)，即可得出答案；
（3）根據(jù)CE、DE的長(zhǎng)度是關(guān)于x的一元二次方程x²-mx+3m-1-=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，求出CE+DE=m，再根據(jù)CE+DE=CD=12，求出m=12，再把m=12代入原方程，求出x的值，最后根據(jù)勾股定理即可求出AF的值．

解答：解：（1）∵邊長(zhǎng)為12的正方形ABCD，DE=t，
∴△ABF的面積為S₁=

1

2

AD•DE=

1

2

×12•t=6t，
∵△ABF是△ADE順時(shí)針旋得到的，
∴BF=DE=t，
∴△CEF的面積為S₂=

1

2

FC•EC=

1

2

（12+t）（12-t）=72-

1

2

t²，
∵AE=

AD2+DE2

=

t2+122

，
∴△AEF的面積S₃=

1

2

AE²=

1

2

（t²+12²）=

1

2

t²+72；
（2）∵S₃-S₂=

1

2

t²+72-（72-

1

2

t²）=t²，
又∵t＞0，
∴t²＞0，
∴S₃-S₂＞0，
∴S₃＞S₂ ；
②∵S₃=

1

2

t²+72，S₁=6t，
∴S₃-2S₁=

1

2

t²+72-12t=

1

2

（t-12）²≥0，
∴S₃≥2S₁；
（3）∵CE、DE的長(zhǎng)度是關(guān)于x的一元二次方程x²-mx+3m-1-=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴CE+DE=m，
∵CE+DE=CD=12，
∴m=12，
把m=12代入x²-mx+3m-1-=0得：x²-12x+35=0，
解得：x₁=5，x₂=7，
當(dāng)DE=5時(shí)，AF=AE=

52+122

=13，
當(dāng)DE=7時(shí)，AF=AE=

72+122

=

193

；

點(diǎn)評(píng)：此題考查了四邊形的綜合，用到的知識(shí)點(diǎn)是勾股定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、根與系數(shù)的關(guān)系、正方形的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是綜合利用以上知識(shí)點(diǎn)，列出算式．