Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，0），B（5，0），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P為線段AB上一點(diǎn)，連接PC．將線段PC繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PF，連接BF．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，0），△PBF的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)△PBF的面積最大時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)及此時(shí)△PBF的最大面積；
（3）在（2）的條件下，點(diǎn)P在線段OB上移動(dòng)的過(guò)程中，△PBF能否成為等腰三角形？若能，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）（法一）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+2（a≠0），把A（-1，0），B（5，0），三點(diǎn)代入解析式得：，
解得；
∴；
（法二）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-5）（x+1），
把（0，2）代入解析式得：2=-5a，
∴；
∴，
即；

（2）①過(guò)點(diǎn)F作FD⊥x軸于D，如圖1，
當(dāng)點(diǎn)P在原點(diǎn)左側(cè)時(shí)（-1≤t＜0），BP=5-t，DF=-t；
∴S_△PBF==-t（-1≤t≤0），
當(dāng)t=-1時(shí)，S_△PBF有最大值2；此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）；



②當(dāng)點(diǎn)P在原點(diǎn)右側(cè)時(shí)（0＜t≤5），如圖2，DF=t，BP=5-t；
∴S_△PBF==-t²+t（0＜t≤5）；
當(dāng)t=時(shí)，S_△PBF有最大值；此時(shí)坐標(biāo)為（，0）；
綜上S與t的函數(shù)關(guān)系式為S=，
當(dāng)t=時(shí)，S_△PBF有最大值；此時(shí)坐標(biāo)為（，0）；



（3）能；
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（t，0），
當(dāng)-1≤t≤0時(shí)，這樣的等腰三角形不存在，
當(dāng)0＜t≤5時(shí)，如圖3，F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)為（2+t，t），
PF=，F(xiàn)B=，
若△PBF是等腰三角形，則PF=FB，
解得t=1或t=5（不符合題意舍去），
故當(dāng)t=1時(shí)△PBF是等腰三角形．
分析：（1）因?yàn)閽佄锞�過(guò)A、B、C三點(diǎn)，所以此三點(diǎn)的坐標(biāo)使拋物線的解析式成立．
（2）①此題要分作兩種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)P點(diǎn)位于原點(diǎn)左側(cè)，線段OA上；此時(shí)-1≤t≤0，可過(guò)F作FD⊥x軸于D，由此可得到DF的長(zhǎng)，以BP為底，DF為高，即可求得△BPF的面積表達(dá)式，也就得到了關(guān)于S、t的函數(shù)關(guān)系式；
②當(dāng)P點(diǎn)位于原點(diǎn)右側(cè)，線段OB上；此時(shí)0＜t≤5，可仿照一的方法進(jìn)行求解；
（3）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（t，0），假若這樣的等腰三角形存在，再進(jìn)行分類，當(dāng)P點(diǎn)在線段OA上和線段OB上，求出FB和PF的長(zhǎng)，令|BF|=|PF|，求出t的值即可．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、以及三角形面積的求法等重要知識(shí)點(diǎn)；在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果，此題綜合性較強(qiáng)，難度較大．