Question

（1）如圖1，以AC為斜邊的Rt△ABC和矩形HEFG擺放在直線l上（點B、C、E、F在直線l上），已知BC=EF=1，AB=HE=2．△ABC沿著直線l向右平移，設CE=x，△ABC與矩形HEFG重疊部分的面積為y（y≠0）．當x=時，求出y的值；
（2）在（1）的條件下，如圖2，將Rt△ABC繞AC的中點旋轉180°后與Rt△ABC形成一個新的矩形ABCD，當點C在點E的左側，且x=2時，將矩形ABCD繞著點C順時針旋轉α角，將矩形HEFG繞著點E逆時針旋轉相同的角度．若旋轉到頂點D、H重合時，連接AG，求點D到AG的距離；
（3）在（2）的條件下，如圖3，當α=45°時，設AD與GH交于點M，CD與HE交于點N，求證：四邊形MHND為正方形．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意畫出圖形，根據tan∠PCE=tan∠ACB得出．求出PE=，根據三角形面積公式求出即可；
（2）作DK⊥AG于點K，得出等邊三角形DCE，求出∠CDE=60°，求出∠ADG=120°，求出∠DAK=30°，求出DK即可；
（3）根據∠NCE=∠NEC=45°求出∠HND=∠CNE=90°，得出矩形HNDM，求出HN=DN，根據正方形判定推出即可．
解答：（1）解：如圖1，當x=時，設AC與HE交與點P．

由已知易得∠ABC=∠HEC=90°．
∴tan∠PCE=tan∠ACB．
∴．
∴PE=，
∴．

（2）解：如圖2，作DK⊥AG于點K，

∵CD=CE=DE=2，
∴△CDE是等邊三角形，
∴∠CDE=60°．
∴∠ADG=360°-2QUOTE90°-60°=120°，
∵AD=DG=1，
∴∠DAG=∠DGA=30°，
∴DK=DG=，
∴點D到AG的距離為．

（3）解：如圖3，

∵α=45°，
∴∠NCE=∠NEC=45°，
∴∠CNE=90°，
∴∠DNH=90°，
∵∠D=∠H=90°，
∴四邊形MHND是矩形，
∵CN=NE，CD=HE，
∴DN=NH，
∴矩形MHND是正方形．
點評：本題考查了矩形性質和判定，正方形判定，含30度角的直角三角形，三角形內角和定理，三角形的面積，解直角三角形等知識點的應用，主要考查學生綜合運用性質進行推理和計算的能力．