Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y＝ax²＋bx＋c(a＞0)的圖像頂點(diǎn)為D，與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)A在原點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3，0)，OB＝OC，tan∠ACO＝．

1.求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

2.若平行于x軸的直線與該拋物線交于點(diǎn)M、N，且以MN為直徑的圓與x軸相切，求該圓的半徑長度；Com]

3.如圖2，若點(diǎn)G(2，y)是該拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)P是直線AG下方的拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△AGP的面積最大？求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)和△AGP的最大面積．

 

Answer 1

【答案】

 

1.由OC=OB=3，知C

連接AC，在Rt△AOC中，OA=OC×tan∠ACO=，故A

設(shè)所求二次函數(shù)的表達(dá)式為

將C代入得，解得，

∴這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為。

2.①當(dāng)直線MN在x軸上方時(shí)，設(shè)所求圓的半徑為R（R>0），設(shè)M在N的左側(cè)，

∵所求圓的圓心在拋物線的對(duì)稱軸上，

∴N（R+1，R）代入中得

，

解得 （舍）

②當(dāng)直線MN在x軸下方時(shí)，設(shè)所求圓的半徑為，由①可知N，代入拋物線方程可得 （舍）。

3.

【解析】

1.根據(jù)已知條件，易求得C、A的坐標(biāo)，可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；

2.根據(jù)拋物線和圓的對(duì)稱性，知圓心必在拋物線的對(duì)稱軸上，由于該圓與x軸相切，可用圓的半徑表示出M、N的坐標(biāo)，將其入拋物線的解析式中，即可求出圓的半徑；（需注意的是圓心可能在x軸上方，也可能在x軸下方，需要分類討論）

3.易求得AC的長，由于AC長為定值，當(dāng)P到直線AG的距離最大時(shí)，△APG的面積最大．可過P作y軸的平行線，交AG于Q；設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)直線AG的解析式可求出Q點(diǎn)坐標(biāo)，也就求出PQ的長，進(jìn)而可得出關(guān)于△APG的面積與P點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可求出△APG的最大面積及P點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)此時(shí)△APG的面積和AG的長，即可求出P到直線AC的最大距離．