Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=x，點F在邊AB上，點G、H在邊BC上，四邊形EFGH是一個邊長為y的正方形，且AE=AC．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（2）當x為何值時，y取得最大值？并求出y的最大值．

Answer 1

分析：（1）延長FE，交AC于D，顯然DF∥BC，則Rt△ADF∽Rt△ACB，利用AE=AC=x，求得DE，于是可得方程，然后解方程即可，
（2）由第（1）題得方程，解當

x

=

2

x

時，即可求出y的最大值．

解答：解：（1）如圖，延長FE，交AC于D，
∵DF∥BC，
∴Rt△ADF∽Rt△ACB，
∴AE=AC=X，知：DE=

x2-(x-y)2

=

2xy-y2

，
∴

x-y

x

=

2xy-y2 +y

2

?2x-2y-xy=x

2xy-y2

，
兩邊平方，并整理得（x²+2x+2）y²-（x³+2x²+4x）y+2x²=0，
解得：y=

2x

x 2   +2x+2

（另一解y=x舍去）．
答：y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=

2x

x 2   +2x+2

．

（2）由第（1）題得y=

2

x     + 2 x +2

=

2

( x - 2 x ) 2   +2 2 +2

，
當

x

=

2

x

，即x=

2

時，y有最大值=

2

2 2 +2

=

2

-1，
答：當x=

2

時，y最大值為

2

-1．

點評：此題涉及到相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等多個知識點，有一定的拔高難度．