Question

如圖，矩形OABC中，A（6，0）、C（0，2）、D（0，3），射線l過(guò)點(diǎn)D且與x軸平行，點(diǎn)P、Q分別是l和x軸正半軸上動(dòng)點(diǎn)，滿足∠PQO=60°．

（1）①點(diǎn)B的坐標(biāo)是　　；②∠CAO=　 　度；③當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為　 　；（直接寫出答案）

（2）設(shè)OA的中心為N，PQ與線段AC相交于點(diǎn)M，是否存在點(diǎn)P，使△AMN為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，△OPQ與矩形OABC的重疊部分的面積為S，試求S與x的函數(shù)關(guān)系式和相應(yīng)的自變量x的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）①（6，2）。  ②30。③（3，3）。

（2）存在。m=0或m=3﹣或m=2。

           （3）當(dāng)0≤x≤3時(shí)，

如圖1，OI=x，IQ=PI•tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x；

 

 

由題意可知直線l∥BC∥OA，

可得，∴EF=（3+x），

此時(shí)重疊部分是梯形，其面積為：

當(dāng)3＜x≤5時(shí)，如圖2，

 

 

當(dāng)5＜x≤9時(shí)，如圖3，

 

 

當(dāng)x＞9時(shí)，如圖4，

 

 

。

綜上所述，S與x的函數(shù)關(guān)系式為：

  。

【解析】矩形的性質(zhì)，梯形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，特殊角的三角函數(shù)值，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形。

（1）①由四邊形OABC是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)，即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)：

∵四邊形OABC是矩形，∴AB=OC，OA=BC，

∵A（6，0）、C（0，2），∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（6，2）。

②由正切函數(shù)，即可求得∠CAO的度數(shù)：

∵，∴∠CAO=30°。

③由三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；如圖：當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OA于E，

 

 

∵∠PQO=60°，D（0，3），∴PE=3。

∴。

∴OE=OA﹣AE=6﹣3=3，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，3）。

（2）分別從MN=AN，AM=AN與AM=MN去分析求解即可求得答案：

情況①：

 

 

MN=AN=3，則∠AMN=∠MAN=30°，

∴∠MNO=60°。

∵∠PQO=60°，即∠MQO=60°，∴點(diǎn)N與Q重合。

∴點(diǎn)P與D重合�！啻藭r(shí)m=0。

情況②，如圖AM=AN，作MJ⊥x軸、PI⊥x軸。

MJ=MQ•sin60°=AQ•sin60⁰

 

 

又，

∴，解得：m=3﹣。

情況③AM=NM，此時(shí)M的橫坐標(biāo)是4.5，

過(guò)點(diǎn)P作PK⊥OA于K，過(guò)點(diǎn)M作MG⊥OA于G，

 

 

∴MG=。

∴。

∴KG=3﹣0.5=2.5，AG= AN=1.5�！郞K=2�！鄊=2。

綜上所述，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m=0或m=3﹣或m=2。

（3）分別從當(dāng)0≤x≤3時(shí)，當(dāng)3＜x≤5時(shí)，當(dāng)5＜x≤9時(shí)，當(dāng)x＞9時(shí)去分析求解即可求得答案。