Question

已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=90°，E是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），EP與BD相交于點(diǎn)O．
（1）當(dāng)P點(diǎn)在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求證：△BOP∽△DOE；
（2）設(shè)（1）中的相似比為k，若AD：BC=2：3．請(qǐng)?zhí)骄浚寒?dāng)k為下列三種情況時(shí)，四邊形ABPE是什么四邊形？①當(dāng)k=1時(shí)，是______；②當(dāng)k=2時(shí)，是______；③當(dāng)k=3時(shí)，是______．并證明k=2時(shí)的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）△BOP和△DOE中，已知的條件有：對(duì)頂角∠EOD=∠POB；根據(jù)AD∥BC，可得出內(nèi)錯(cuò)角∠OED=∠OPB，由此可判定兩個(gè)三角形相似；
（2）由于E是AD中點(diǎn)，且AD：BC=2：3，得BC=3DE=3AE；
①當(dāng)k=1時(shí)，△ODE和△OBP全等，則DE=BP=AE，又由AE∥BP，則四邊形AEPB的對(duì)邊平行且相等，由此得出四邊形AEPB是平行四邊形；
②當(dāng)k=2時(shí)，BP=2DE，此時(shí)PC=BC-BP=DE，易證得四邊形DEPC是矩形，則四邊形AEPB是直角梯形；
③當(dāng)k=3時(shí)，BP=3DE，此時(shí)P、C重合，可過(guò)A、E分別作BC的垂線，設(shè)垂足為M、N；根據(jù)①②的解題過(guò)程易知BM=MN=CN=DE，可證△AMB≌△ENC，得出AB=EC（即EP），由此可證得四邊形ABCD是等腰梯形．
解答：（1）證明：
∵AD∥BC
∴∠OBP=∠ODE．
又∠BOP=∠DOE，
∴△BOP∽△DOE；（有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似）；

（2）解：①平行四邊形；
②直角梯形；
③等腰梯形；
證明：②當(dāng)k=2時(shí)，，
∴BP=2DE=AD
又∵AD：BC=2：3，即BC=AD，
∴PC=BC-BP=AD-AD=AD=ED，
又ED∥PC，
∴四邊形PCDE是平行四邊形，
∵∠DCB=90°
∴四邊形PCDE是矩形（7分）
∴∠EPB=90°（8分）
又∵在直角梯形ABCD中
AD∥BC，AB與DC不平行
∴AE∥BP，AB與EP不平行
四邊形ABPE是直角梯形．（9分）
（本題其它證法參照此標(biāo)準(zhǔn)給分）
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了梯形的性質(zhì)及相似三角形的判定和性質(zhì)．在證明四邊形是梯形的過(guò)程中，不要遺漏證明另一組對(duì)邊不平行的步驟．