Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+2

3

交x軸于點B（6，0）和C（-2，0），交y軸于點A．動點P在線段AB上從點A向點B以每秒

3

2

個單位的速度運動，設運動時間為t秒．在x軸上取兩點M，N作等邊△PMN．
（1）求拋物線和直線AB的解析式；
（2）求等邊△PMN的邊長（用t的代數式表示），并求出當等邊△PMN的頂點P運動到拋物線對稱軸上時t的值；
（3）如果取AB的中點D，過D作DE⊥y軸，DF⊥x軸，垂足分別為E、F．設等邊△PMN和矩形OEDF重疊部分的面積為S，請求出當0≤t≤2秒時S與t的函數關系式，并求出S的最大值．

Answer 1

分析：（1）先利用待定系數法求出a、b的值就可以求出拋物線的解析式，利用拋物線的解析式求出A點的坐標，利用待定系數法就可以求出直線AB的解析式；
（2）根據B、A的坐標及其他條件就可以求出∠ABO=30°，∠OAB=60°，由等邊三角形的性質就可以求出等邊三角形的邊長，由拋物線的解析式就可以求出拋物線的對稱軸，如圖1，作PH⊥AO于H，由勾股定理就可以求出t值；
（3）根據梯形的面積和三角形的面積分情況討論求出當0≤t≤1時和1＜t≤2時S的表達式．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+2

3

交x軸于點B（6，0）和C（-2，0），
∴

0=36a+6b+2 3 0=4a-2b+2 3

，
∴

a=- 3 6 b= 2 3 3

，
∴拋物線的解析式為：y=-

3

6

x²+

2 3

3

x+2

3

，
當x=0時，y=2

3

，
∴A（0，2

3

）．
設直線AB的解析式為y=kx+b，由題意，得

2 3 =b 0=6k+b

，
解得：

k=- 3 3 b=2 3

，
∴y=-

3

3

x+2

3

；

（2）∵B（6，0），A（0，2

3

），
∴OA=2

3

，OB=6，
∴tan∠ABO=

3

3

，
∴∠ABO=30°，
∴∠OAB=60°，
∵△PMN是等邊三角形，
∴∠PMN=∠PNM=60°，
∴∠MEO=∠AEP=30°，
∵AP=

3

2

t，
∴PE=

3

2

t，AE=

3

t，
∴OE=2

3

-

3

t，MO=2-t，
∴ME=4-2t，
∴MP=4-2t+

3

2

t=4-

1

2

t，
∵y=-

3

6

x²+

2 3

3

x+2

3

，
∴y=-

3

6

（x-2）²+

8 3

3

，
∴拋物線的對稱軸為x=2，
如圖1，當x=2時，作PH⊥AO于H，
∴HP=2，在Rt△AHP中，由勾股定理得：
AH=

2 3

3

，AP=

4 3

3

，
∴t=

4 3

3

÷

3

2

=

8

3

．
∴等邊△PMN的頂點P運動到拋物線對稱軸上時t的值為：

8

3

；
（3）∵AB的中點D，過D作DE⊥y軸，DF⊥x軸，
∴ED=

1

2

OB=3，AE=EO=

3

．
如圖2，當0≤t≤1時，作HQ⊥OB于Q，
∴HQ=

3

，QN=1，
∵ON=4-

1

2

t-（2-t）=2+

1

2

t，
∴OQ=EH=1+

1

2

t，
∴S=

(1+ 1 2 t+2+ 1 2 t) 3

2

，
S=

3 3 + 3 t

2

；
如圖3，當1＜t≤2時，作FK⊥OB于K，HQ⊥OB于Q，
∴FK=HQ=

3

，
∴QN=MK=1，
∴FH=4-

1

2

t-2=2-

1

2

t，
S=

(2- 1 2 t+4- 1 2 t) 3

2

-

(2-t)(2 3 - 3 t)

2

，
=

2 3 +3 3 t- 3 t2

2

．

點評：本題是一道二次函數的綜合試題，考查了拋物線的性質的運用，待定系數法求一次函數的解析式的運用，分類討論思想的運用及梯形的面積公式和三角形的面積公式的運用及特殊角的三角函數值的運用．