如圖，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點，對稱軸與拋物線相交于點P、與直線BC相交于點M，連接PB．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）拋物線上是否存在一點Q，使△QMB與△PMB的面積相等？若存在，求點Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；
（3）在第一象限、對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在一點R，使△RPM與△RMB的面積相等？若存在，直接寫出點R的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
（1）把三點代入拋物線解析式
0=a-b+c
0=9a+3b+c
3=c
，
即得：
a=-1
b=2
c=3
，
所以二次函數(shù)式為y=-x2+2x+3；

（2）由y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
則頂點P（1，4），
由B，C兩點坐標(biāo)可求直線BC解析式為y=-x+3，
設(shè)過點P與直線BC平行的直線為：y=-x+b′，
將點P（1，4）代入，得y=-x+5，
則過點P與直線BC平行的直線與拋物線聯(lián)立，有則存在點Q，
-x2+2x+3=-x+5，
即x2-3x+2=0，
解得x=1或x=2，
代入直線則得點（1，4）或（2，3），
已知點P（1，4），
所以點Q（2，3），
由對稱軸及直線BC解析式可知M（1，2），PM=2，
設(shè)過P′（1，0）且與BC平行的直線為y=-x+f，
將P′代入，得y=-x+1，
聯(lián)立
y=-x+1
y=-x2+2x+3
，解得
x=
3-
17
2
y=
-1+
17
2
或
x=
3+
17
2
y=
-1-
17
2
，
∴Q（2，3）或（
3-
17
2
，
-1+
17
2
）或Q（
3+
17
2
，
-1-
17
2
）；

（3）由題意求得直線BC代入x=1，則y=2，
∴M（1，2），
由點M，P的坐標(biāo)可知：
點R存在，即過點M平行于x軸的直線，
則代入y=2，x2-2x-1=0，
解得x=1-
2
（在對稱軸的左側(cè)，舍去），x=1+
2
，
即點R（1+
2
，2）．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)為M（2，0），直線y=x+2與該二次函數(shù)的圖象交于A、B兩點，其中點A在y軸上（如圖示）
（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）P為線段AB上一動點（A、B兩端點除外），過P作x軸的垂線與二次函數(shù)的圖象交于點Q，設(shè)線段PQ的長為l，點P的橫坐標(biāo)為x，求出l與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量x的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，線段AB上是否存在一點P，使四邊形PQMA為梯形？若存在，求出點P的坐標(biāo)，并求出梯形的面積；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知二次函數(shù)y=x2-mx+m-2．
（1）求證：無論m為任何實數(shù)，該二次函數(shù)的圖象與x軸都有兩個交點；
（2）當(dāng)該二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（3，6）時，求二次函數(shù)的解析式；
（3）將直線y=x向下平移2個單位長度后與（2）中的拋物線交于A、B兩點（點A在點B的左邊），一個動點P自A點出發(fā)，先到達(dá)拋物線的對稱軸上的某點E，再到達(dá)x軸上的某點F，最后運動到點B．求使點P運動的總路徑最短的點E、點F的坐標(biāo)，并求出這個最短總路徑的長．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中放置一矩形ABCO，其頂點為A（0，1）、B（-3
3
，1）、C（-3
3
，0）、O（0，0）．將此矩形沿著過E（-
3
，1）、F（-
4
3
3
，0）的直線EF向右下方翻折，B、C的對應(yīng)點分別為B′、C′．
（1）求折痕所在直線EF的解析式；
（2）一拋物線經(jīng)過B、E、B′三點，求此二次函數(shù)解析式；
（3）能否在直線EF上求一點P，使得△PBC周長最��？如能，求出點P的坐標(biāo)；若不能，說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將拋物線C1：y=x2+3先向右平移1個單位，再向下平移7個單位得到拋物線C2．C2的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)）．
（1）求拋物線C2的解析式；
（2）若拋物線C2的對稱軸與x軸交于點C，與拋物線C2交于點D，與拋物線C1交于點E，連結(jié)AD、DB、BE、EA，請證明四邊形ADBE是菱形，并計算它的面積；
（3）若點F為對稱軸DE上任意一點，在拋物線C2上是否存在這樣的點G，使以O(shè)、B、F、G四點為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，請求出點G的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線y=-
1
2
x2+bx+4上有不同的兩點E（k+3，-k2+1）和F（-k-1，-k2+1）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖，拋物線y=-
1
2
x2+bx+4與x軸和y軸的正半軸分別交于點A和B，M為AB的中點，∠PMQ在AB的同側(cè)以M為中心旋轉(zhuǎn)，且∠PMQ=45°，MP交y軸于點C，MQ交x軸于點D．設(shè)AD的長為m（m＞0），BC的長為n，求n和m之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)m，n為何值時，∠PMQ的邊過點F？

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=-x2-（m-1）x+m2-6交x軸負(fù)半軸于點A，交y軸正半軸于點B（0，3），頂點C位于第二象限，連接AB，AC，BC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點D是y軸正半軸上一點，且在B點上方，若∠DCB=∠CAB，請你猜想并證明CD與AC的位置關(guān)系；
（3）設(shè)與△AOB重合的△EFG從△AOB的位置出發(fā)，沿x軸負(fù)方向平移t個單位長度（0＜t≤3）時，△EFG與△ABC重疊部分的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

直線l過點A（4，0）和B（0，4）兩點，它與二次函數(shù)y=ax2的圖象在第一象限內(nèi)交于點P，若S△AOP=
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2
，求二次函數(shù)關(guān)系式．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，以O(shè)為原點的直角坐標(biāo)系中，A點的坐標(biāo)為（0，3），直線x=-3交x軸于點B，P為線段AB上一動點，作直線PC⊥PO，交于直線x=-3于點C．過P點作直線MN平行于x軸，交y軸于M，交直線x=-3于點N．
（1）當(dāng)點C在第二象限時，求證：△OPM≌△PCN；
（2）設(shè)AP長為m，以P、O、B、C為頂點的四邊形的面積為S，請求出S與M之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍；
（3）當(dāng)點P在線段AB上移動時，點C也隨之在直線x=-3上移動，△PBC是否可能成為等腰三角形？如果可能，求出所有能使△PBC成為等腰三角形的點P的坐標(biāo)；如果不可能，請說明理由．

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同步練習(xí)冊答案