Question

如圖，在△ABC中，∠B=60°．
（1）請你用直尺和圓規(guī)分別作出∠BAC和∠BCA的平分線AD和CE，分別交BC和AB于點D、E，AD與CE相交于點F．
（2）請你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關系，然后證明關系成立．

Answer 1

解：（1）如圖：

（2）FE與FD之間的數(shù)量關系為FE=FD，
證明如下：
過點F分別作FG⊥AB于點G，F(xiàn)H⊥BC于點H，
∵∠B=60°，且AD，CE分別是∠BAC，∠BCA的平分線，
∴FG=FH，
∠2+∠3=60°，
∴∠GEF=60°+∠1，
又∠HDF=∠B+∠1
=60°+∠1
∴∠GEF=∠HDF
∴△EGF≌△DHF
∴FE=FD．

證法二：如圖，在AC上截取AG=AE，連接FG
∵∠1=∠2
AF=AF，
∴△AEF≌△AGF
∴∠AFE=∠AFG，F(xiàn)E=FG
由∠B=60°，AD，CE分別是∠BAC，∠BCA的平分線，
可得∠2+∠3=60°
∴∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°
∴∠CFG=60°
∵∠3=∠4，F(xiàn)C=FC，
∴△CFG≌△CFD
∴FG=FD
∴FE=FD
分析：（1）用基本作圖中的“作角的平分線”即可．（注意：作圖，必須用圓規(guī)）．
（2）有兩種證法：①過點F分別作FG⊥AB于點G，F(xiàn)H⊥BC于點H根據題意可證明∴△EGF≌△DHF
故FE=FD；②在AC上截取AG=AE，連接FG，根據題意可證△AEF≌△AGF，從而可得FG=FD即FE=FD．
點評：本題考查三角形全等的判定和方法；判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
本題的關鍵是作出輔助線，構造出全等三角形，才好解，有點難度．