Question

【題目】如圖，矩形OABC的兩邊在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（10，0），拋物線過點(diǎn)B，C兩點(diǎn)，且與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為D（﹣2，0），點(diǎn)P是線段CB上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)CP=t（0＜t＜10）．

（1）請(qǐng)直接寫出B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物線的解析式；

（2）過點(diǎn)P作PE⊥BC，交拋物線于點(diǎn)E，連接BE，當(dāng)t為何值時(shí)，∠PBE=∠OCD？

（3）點(diǎn)Q是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM∥BQ，交CQ于點(diǎn)M，作PN∥CQ，交BQ于點(diǎn)N，當(dāng)四邊形PMQN為正方形時(shí)，請(qǐng)求出t的值．

Answer 1

【答案】（1）B（10，4），C（0，4），；（2）3；（3）t的值為或．

【解析】

試題分析：（1）由拋物線的解析式可求得C點(diǎn)坐標(biāo)，由矩形的性質(zhì)可求得B點(diǎn)坐標(biāo)，由B、D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；

（2）可設(shè)P（t，4），則可表示出E點(diǎn)坐標(biāo)，從而可表示出PB、PE的長(zhǎng)，由條件可證得△PBE∽△OCD，利用相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于t的方程，可求得t的值；

（3）當(dāng)四邊形PMQN為正方形時(shí)，則可證得△COQ∽△QAB，利用相似三角形的性質(zhì)可求得CQ的長(zhǎng)，在Rt△BCQ中可求得BQ、CQ，則可用t分別表示出PM和PN，可得到關(guān)于t的方程，可求得t的值．

試題解析：

（1）在中，令x=0可得y=4，∴C（0，4），∵四邊形OABC為矩形，且A（10，0），∴B（10，4），把B、D坐標(biāo)代入拋物線解析式可得：，解得：，∴拋物線解析式為；

（2）由題意可設(shè)P（t，4），則E（t，），∴PB=10﹣t，PE=﹣4=，∵∠BPE=∠COD=90°，∠PBE=∠OCD，∴△PBE∽△OCD，∴，即BPOD=COPE，∴2（10﹣t）=4（），解得t=3或t=10（不合題意，舍去），∴當(dāng)t=3時(shí)，∠PBE=∠OCD；

（3）當(dāng)四邊形PMQN為正方形時(shí)，則∠PMC=∠PNB=∠CQB=90°，PM=PN，∴∠CQO+∠AQB=90°，∵∠CQO+∠OCQ=90°，∴∠OCQ=∠AQB，∴Rt△COQ∽Rt△QAB，∴，即OQAQ=COAB，設(shè)OQ=m，則AQ=10﹣m，∴m（10﹣m）=4×4，解得m=2或m=8；

①當(dāng)m=2時(shí)，CQ= =，BQ==，∴sin∠BCQ= =，sin∠CBQ==，∴PM=PCsin∠PCQ=t，PN=PBsin∠CBQ=（10﹣t），∴t=（10﹣t），解得t=；

②當(dāng)m=8時(shí)，同理可求得t=，∴當(dāng)四邊形PMQN為正方形時(shí)，t的值為或．