Question

如圖，過四邊形ABCD的四個頂點分別作對角線AC，BD的平行線，所圍成的四邊形EFGH顯然是平行四邊形．在進一步學習時，小明和小亮產生了很大的意見分歧：
小明說：如果一個是平行四邊形EFGH是矩形，則四邊形ABCD一定是菱形；
小亮說：如果一個平行四邊形EFGH是矩形，則四邊形ABCD一定是對角線互相垂直的四邊形，而不一定是菱形．
（1）你認為誰的觀點是錯誤的．
（2）如果四邊形ABCD對角線相等，平行四邊形EFGH形狀為______
（3）如果四邊形EFGH為正方形，則四邊形ABCD必須滿足條件______，并且在下面的網格中畫出符合條件（3）的圖形并說明理由．

Answer 1

解：（1）小明的觀點是錯誤的．
根據已知只能證明四邊形ABCD的對角線互相垂直，四邊形ABCD不一定是平行四邊形，所以四邊形ABCD不一定是菱形，故小明的觀點是錯誤的．
（2）由四邊形ABCD對角線相等和平行四邊形的性質可證明平行四邊形EFGH的鄰邊相等，故平行四邊形EFGH形狀為菱形．
（3）四邊形ABCD必須滿足條件為對角線互相垂直且相等．
符合條件的圖如下：

如網格中圖ABCD中，AC⊥BD且AC=BD
∵EF∥AC∥HG，HE∥DB∥GF，AC⊥BD
∴ACGH、DBFG、EFGH為平行四邊形，
∠HAC=90°，∠AHG=90°
∴HG=AC，GF=BD，EFGH為矩形
∵AC=BD
∴HG=GF
∴EFGH為菱形
∴EFGH為正方形．
分析：（1）根據菱形和矩形的判定方法，可以直接判定小明和小亮的觀點誰正確．
（2）根據菱形的判定方法可知，如果四邊形ABCD對角線相等，那么平行四邊形EFGH是菱形．
（3）根據正方形的性質，可知四邊形ABCD必須滿足條件為對角線互相垂直且相等，先判定ACGH、DBFG、EFGH為平行四邊形，再證明EFGH為矩形且為菱形，即四邊形EFGH為正方形．
點評：本題主要考查了菱形、矩形和正方形的判定，注意靈活運用平行四邊形的判定和性質是解題的關鍵．菱形的判別方法是說明一個四邊形為菱形的理論依據，常用三種方法：①定義；
②四邊相等；③對角線互相垂直平分．