Question

課題：兩個(gè)重疊的正多邊形，其中的一個(gè)繞某一個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所形成的有關(guān)問題．

設(shè)旋轉(zhuǎn)角∠A₁A₀B₁＝α(α＜∠A₁A₀A₂)，₃，₄，₅，₆所表示的角如圖所示．

(1)用含α的式子表示角的度數(shù)：₃＝________，₄＝________，₅＝________；

(2)圖4中，連接A₀H時(shí)，在不添加其他輔助線的情況下，是否存在與直線A₀H垂直且被它平分的線段？若存在，請(qǐng)選擇其中一個(gè)圖給出證明；若不存在，請(qǐng)說明理由；

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)60°－α，α，36°－α　　3分 　　說明：每寫對(duì)一個(gè)給1分 　　(2)存在下面就所選圖形的不同分別給出證明： 　　下圖中有直線AoH垂直平分A2B1，證明如下： 　　方法一： 　　∵△A0A1A2與△A0B1B2是全等的等邊三角形， 　　∴A0A2＝A0B1， 　　∴∠A0A2B1＝∠A0B1A2 　　又∵∠A0A2H＝∠A0B1H＝60° 　　∴∠HA2B1＝∠HB1A2 　　∴A2H＝B1H 　　∴點(diǎn)H在線段A2B1的垂直平分線上 　　又∵A0B1，∴點(diǎn)A0在線段A2B1的垂直平分線上 　　∴直線A0H垂直平分A2B1　　8分 　　方法二： 　　證明：∵△A0A1A2與△A0B1B2是全等的等邊三角形， 　　∴A0A2＝A0B1， 　　∴∠A0A2B1＝∠A0B1B2 　　又∠A0A2H＝∠A0B1H 　　∴∠HA2B1＝∠HB1A2 　　∴HA2＝HB2 　　在△A0A2H與△A0B1H中 　　∵A0A2＝A0B1，HA2＝HB1，∠A0A2H＝∠A0B1H 　　∴△A0A2H≌△A0B1H 　　∴∠A2A0H＝∠B1A0H 　　∴A0H是等腰三角形A2A0B1的頂角平分線 　　∴直線A0H垂直平分A2B1　　8分 　　下圖中有直線A0H垂直平分A2B2，證明如下： 　　∵A0B2＝A0A2 　　∴∠A0B2A2＝∠A0A2B2 　　又∵∠A0B2B2＝∠A0A2A3＝45°， 　　∴∠HB2A2＝∠HA2B2 　　∴HB2＝HA2 　　∴點(diǎn)H在線段A2B2的垂直平分線上 　　又∵A0B2＝A0A2，∴點(diǎn)A0在線段A2B2的垂直平分線上 　　∴直線A0H垂直平分A2B2　　8分 　　說明：(ⅰ)在圖2中選用方法二證明的，參照上面的方法二給分； 　　(ⅱ)選擇圖3或圖4給予證明的，參照上述證明過程評(píng)分 　　(3)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，ｎ＝， 　　當(dāng)ｎ為偶數(shù)時(shí)，ｎ＝α　　10分 　　(4)存在當(dāng)ｎ為奇數(shù)時(shí)，直線A0H垂直平分， 　　當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，直線A0H垂直平分　　12分