Question

如圖，⊙O是圓木截面，四邊形ABCD是從這個(gè)圓木鋸下的木版橫截面，其中AB為直徑，AD=BC
（1）當(dāng)∠BAD=75°，⊙O是半徑為30cm時(shí)，求弧BC的長(zhǎng)；
（2）求證：DC∥AB；
（3）設(shè)AD=x，⊙O是半徑為20cm，求四邊形ABCD的周長(zhǎng)L關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出x為何值時(shí)，L取得最大值．

Answer 1

分析：（1）求弧BC的長(zhǎng)需要知道弧BC所對(duì)圓心角的度數(shù)，可連接OC、OD，根據(jù)∠A=75°，可求出∠AOD=30°，由于AD=BC，因此∠AOD=∠BOC=30°，從而根據(jù)弧長(zhǎng)公式求出弧BC的長(zhǎng)；
（2）連接BD，根據(jù)圓周角定理即可得出直線CD和AB的內(nèi)錯(cuò)角相等，由此即可證明DC∥AB；
（3）本題的關(guān)鍵是求出CD的長(zhǎng)，易知四邊形ABCD是等腰梯形，因此可過D作DM⊥AB于M，因此DC=40-2AM，而在直角三角形ABD中，根據(jù)射影定理可得出AD²=AM•AB，即可求出AM的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出CD的長(zhǎng)，然后讓四邊形ABCD四邊相加即可得出L，x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可得出L的最大值及對(duì)應(yīng)的x的值．

解答：（1）解：連接OD、OC，由∠BAD=75°，OA=OD知∠AOD=30°，
∵AD=BC，
∴∠BOC=∠AOD=30°，
故

BC

的長(zhǎng)為5πcm．

（2）證明：連接BD，∵AD=BC，
∴∠ABD=∠BDC，
∴BC∥AD；

（3）解：過點(diǎn)D作DM⊥AB于M，由（2）知四邊形ABCD為等腰梯形，
從而DC=AB-2AM=40-2AM．
∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
易得△DAM∽△BAD，
∴AM=

AD2

AB

=

x2

40

，
∴DC=40-

x2

20

，
∴L=2x+40-

x2

20

+40=-

1

20

x²+2x+80=-

1

20

（x-20）²+100，
其中0＜x＜20

2

，
∴當(dāng)x=20時(shí)，L取得最大值100．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查學(xué)生運(yùn)用相似形、圓、二次函數(shù)相關(guān)知識(shí)的綜合能力．