Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，其對(duì)稱軸為直線．

(1)求該二次函數(shù)的解析式；

(2)若直線將的面積分成相等的兩部分，求的值；

(3)點(diǎn)是該二次函數(shù)圖象與軸的另一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)是直線上位于軸下方的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是第四象限內(nèi)該二次函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，且位于直線右側(cè)．若以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的與相似，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1)拋物線的表達(dá)式為：，直線的表達(dá)式為： ；(2)；(3)點(diǎn)坐標(biāo)為或．

【解析】

(1)把A、C坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式，再由對(duì)稱軸公式以及對(duì)稱軸x=2得到關(guān)于a、b、c的方程組，解方程組即可得；

(2)求出直線AC解析式為：，聯(lián)立，求得兩直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，直線 與軸的交點(diǎn)為，求出，

由題意得則可知兩直線與y軸圍成的三角形的面積為 且m>-6，解方程即可得；

(3)由已知可得，然后分①當(dāng)時(shí)，則，如圖1，過(guò)點(diǎn)作直線，垂足為，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，則，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)則可得到，設(shè)點(diǎn)，則，，求得h值即可求得答案；②當(dāng)時(shí)， ，過(guò)點(diǎn)作直線，垂足為，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，則 ，則可得，設(shè)點(diǎn)，則， ，求得p的值即可求得答案.

(1)由已知得：，解得：，

故拋物線的表達(dá)式為：；

(2)設(shè)直線AC解析式為y=k1x+b1，將A(-2，0)、C(0，-6)分別代入得

，解得：，

所以直線的表達(dá)式為：，

聯(lián)立，解得：，

直線 與軸的交點(diǎn)為，

∵，

∴由題意得： ，

解得：或(舍去)，

；

(3)，，

，

①當(dāng)時(shí)，則，

如圖1，過(guò)點(diǎn)作直線，垂足為，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，

則，

則，則，

設(shè)點(diǎn)，則，，

則，即，

點(diǎn)在二次函數(shù)上，故： ，

解得：或(舍去)，

則點(diǎn)；

②當(dāng)時(shí)， ，

過(guò)點(diǎn)作直線，垂足為，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，

則 ，則，則，

設(shè)點(diǎn)，則， ，

則，解得：或(舍去)；

故點(diǎn)坐標(biāo)為或．