Question

（2011•常德）如圖，已知拋物線過點(diǎn)A（0，6），B（2，0），C（7，）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若D是拋物線的頂點(diǎn)，E是拋物線的對(duì)稱軸與直線AC的交點(diǎn)，F(xiàn)與E關(guān)于D對(duì)稱，求證：∠CFE=∠AFE；
（3）在y軸上是否存在這樣的點(diǎn)P，使△AFP與△FDC相似，若有請(qǐng)求出所有和條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)，若沒有，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）解：設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx+c，將A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入，得
，
解得，
∴拋物線解析式為y=x²﹣4x+6；
（2）證明：設(shè)直線AC的解析式y(tǒng)=mx+n，
將A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入，得，解得，∴y=﹣x+6，
∵y=x²﹣4x+6=（x﹣4）²﹣2，∴D（4，﹣2），E（4，4），
∵F與E關(guān)于D對(duì)稱，∴F（4，﹣8），則直線AF的解析式為y=﹣x+6，CF的解析式為y=﹣22，
∴直線AF，CF與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（，0），（，0），
∵4﹣=﹣4，∴兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸x=4對(duì)稱，∴∠CFE=∠AFE；
（3）解：存在．設(shè)P（0，d），則AP=|6﹣d|，AF==2，
FD=﹣2﹣（﹣8）=6，CF==，
當(dāng)△AFP∽△FDC時(shí)，=，即=，解得d=或﹣，
當(dāng)△AFP∽△FCD時(shí)，=，即=，解得d=﹣2或14，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）或（0，﹣）或（0，﹣2）或（0，14）．

解析