Question

如圖，線段AC與BD交于O，DO=DC，AO=AB，E，F，G分別是OB，OC，AD中點
（1）如圖1，當∠AOB=60°時，EG與FG的數量關系是________，∠EGF=________；
如圖2，當∠AOB=45°時，EG與FG的數量關系是________，∠EGF=________；
（2）如圖3，當∠AOB=θ時，EG與FG的數量關系是________，∠EGF=________；
（3）請你從上述三個結論中選擇一個結論加以證明

Answer 1

解：（1）當∠AOB=60°時，
證明：連接DF與EG，
∵DO=DC，AO=AB，
∵∠DOC=∠AOB=60°，
∴△DOC與△AOB是等邊三角形，
∵E，F，G分別是OB，OC，AD中點，
∴DF⊥AC，AE⊥BD，
∴EG=AD，FG=AD，
∴EG=FG，
∵∠DCO=∠BAO=60°，
∴AB∥CD，
∴∠CDA+∠DAB=180°，
∵∠CDO=∠CDA=∠OAB=BAO=30°，
∴∠ADF+∠EAG=120°，
∵DG=GF=AG=EG=AD，
∴∠DFG=∠GDF，∠AEG=∠GAE，
∴∠DFG+∠AEG=∠ADF+∠EAG=120°，
∴∠DFG+∠AEG+∠ADF+∠EAG=240°，
∴∠DGF+∠AGE=360°-（∠DFG+∠AEG+∠ADF+∠EAG）=120°，
∴∠FGE=60°；

當∠AOB=45°時，
證明：連接DF與EG，
∵DO=DC，AO=AB，
∵∠DOC=∠AOB=45°，
∴△DOC與△AOB是等腰直角三角形，
∵E，F，G分別是OB，OC，AD中點，
∴DF⊥AC，AE⊥BD，
∴EG=AD，FG=AD，
∴EG=FG，
∵∠DCO=∠BAE=45°，
∴AE∥CD，
∴∠CDA+∠DAE=180°，
∵∠CDO=∠CDO=∠OAB=BAO=45°，
∴∠ADF+∠EAG=135°，
∵DG=GF=AG=EG=AD，
∴∠DFG=∠GDF，∠AEG=∠GAE，
∴∠DFG+∠AEG=∠ADF+∠EAG=135°，
∴∠DFG+∠AEG+∠ADF+∠EAG=270°，
∴∠DGF+∠AGE=360°-（∠DFG+∠AEG+∠ADF+∠EAG）=190°，
∴∠FGE=90°；

（2）當∠AOB=θ時，
證明：連接DF與AE，
∵DO=DC，AO=AB，∵∠DOC=∠AOB=∠DCO=∠ABO=θ，
∴△DOC與△AOB是等腰三角形，
∵E，F，G分別是OB，OC，AD中點，
∴DF⊥AC，AE⊥BD，
∴EG=AD，FG=AD，
∴EG=FG，
∵∠FDO=∠EAO=90°-θ，
∴∠ODA+∠OAD=θ，
∴∠FDA+∠EAD=180°-θ，
∵DG=GF=AG=EG=AD，
∴∠DFG=∠GDF，∠AEG=∠GAE，
∴∠DFG+∠AEG=∠ADF+∠EAG=180°-θ，
∴∠DFG+∠AEG+∠ADF+∠EAG=360°-2θ，
∴∠DGF+∠AGE=360°-（∠DFG+∠AEG+∠ADF+∠EAG）=180°-2θ，
∴∠FGE=180°-2θ．
故答案為：（1）EG=FG，60°； EG=FG，90°；
（2）EG=FG，180°-2θ；
（3）選擇證明即可．
分析：（1）由DO=DC，AO=AB，∠DOC=∠AOB=60°，可得：△DOC與△AOB是等邊三角形，由三線合一可得DF⊥AC，AE⊥BD，又由直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半，可得EG=FG，又由DG=GF=AG=EG=AD，利用等邊對等角，即可求得∠FGE的度數；∠AOB=45°時，方法一樣；
（2）與（1）的方法類似，注意此時△DOC與△AOB是等腰三角形，由等腰三角形中的三線合一仍可求得結果．
（3）根據以上分析證明即可．
點評：此題考查了三角形中位線的性質，直角三角形的性質以及等腰三角形的性質等知識．題目難度適中，注意數形結合思想的應用．