Question

如圖，在正方形ABCD中，AB=2，P是BC邊上與B、C不重合的任意一點(diǎn)，DQ⊥AP于點(diǎn)Q
（1）判斷△DAQ與△APB是否相似，并說(shuō)明理由．
（2）當(dāng)點(diǎn)P在BC上移動(dòng)時(shí)，線段DQ也隨之變化，設(shè)PA=x，DQ=y，求y與x間的函數(shù)關(guān)系式，并求出x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)四邊形ABCD是正方形，得AD∥BC，∠B=90°，∠DAP=∠APB，根據(jù)DQ⊥AP，得∠B=∠AQD，即可證出△DAQ∽△APB；
（2）根據(jù)△DAQ∽△APB，得=，再把AB=2，DA=2，PA=x，DQ=y代入得出=，y=．根據(jù)點(diǎn)P在BC上移到C點(diǎn)時(shí)，PA最長(zhǎng)，求出此時(shí)PA的長(zhǎng)即可得出x的取值范圍．
解答：解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，∠B=90°，
∴∠DAP=∠APB，
∵DQ⊥AP，
∴∠AQD=90°，
∴∠B=∠AQD，
∴△DAQ∽△APB；

（2）∵△DAQ∽△APB，
∴=，
∵AB=2，
∴DA=2，
∵PA=x，DQ=y，
∴=，
∴y=．
∵點(diǎn)P在BC上移到C點(diǎn)時(shí)，PA最長(zhǎng)，此時(shí)PA==2，
又∵P是BC邊上與B、C不重合的任意一點(diǎn)，
∴x的取值范圍是；2＜x＜2．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，用到的知識(shí)點(diǎn)是相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，關(guān)鍵是能根據(jù)兩三角形相似求出函數(shù)關(guān)系式．