Question

正方形ABCD中，E點為BC中點，連接AE，過B點作BF⊥AE，交CD于F點，交AE于G點，連接GD，過A點作AH⊥GD交GD于H點．

(1) 求證：△ABE≌△BCF；
(2) 若正方形邊長為4，AH =，求△AGD的面積．

Answer 1

（1）見解析（2）解析:
證明：(1) 正方形ABCD中，∠ABE=90°，
∴∠1+∠2 = 90°，
又AE⊥BF，
∴∠3+∠2 = 90°，
則∠1=∠3            
又∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC
在△ABE和△BCF中，
    ∴△ABE≌△BCF(ASA) ··················· ·5分
(2) 延長BF交AD延長線于M點，∴∠MDF=90°
由 (1) 知 △ABE≌△BCF，∴CF = BE
∵E點是BC中點，∴BE =BC，即CF =CD = FD，
在△BCF和△MDF中，
    ∴△BCF≌△MDF(ASA) 
∴BC=DM，即DM=AD，D是AM中點························· 9分
又AG⊥GM，即△AGM為直角三角形，
∴GD =AM = AD
又正方形邊長為4，∴GD = 4
S_△AGD=GD·AH=×4×=   12分
（1）易得∠1=∠3，這兩個三角形中都有一個角是直角，加上正方形的邊長相等，利用角邊角可得這兩個三角形全等；
（2）求得DG的長就可以求得△AGD的面積．易得F為CD的中點，延長BF交AD的延長線于點M，可構(gòu)造出△BCF≌△MDF，那么可得DM=BC=AD，就可以求得GD的長，也就求得了△AGD的面積