【題目】如圖,已知在矩形ABCD中,BC=2CD=2a,點E在邊CD上,在矩形ABCD的左側(cè)作矩形ECGF,使CG=2GF=2b,連接BD,CF,連結(jié)AF交BD于點H.
(1)求證:BD∥CF;
(2)求證:H是AF的中點;
(3)連結(jié)CH,若HC⊥BD,求a:b的值.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)a:b=.
【解析】
試題分析:(1)由矩形的性質(zhì)可知∠G=∠DCB=90°,由BC=2CD=2a,CG=2GF=2b,可知,依據(jù)兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似可知:△FGC∽△DCB,由相似三角形的性質(zhì)可知∠FCG=∠DBC,由平行線的判定定理可知:BD∥CF;
(2)如圖1所示:連接AC,交BD于點O.由矩形的性質(zhì)可知:OC=OA,由平行線分線段成比例定理可知HF=AH;
(3)如圖2所示:連接CH,CA,AC與BD交于點O.由勾股定理可知:FC=b,AC=a,由矩形的對角線的性質(zhì)可知DB=AC=a,CO=AC=.由(2)可知HO是△AFC的中位線,由三角形中位線的性質(zhì)可知:HO=.在△BCD中,利用面積法可求得CH=,最后在△COH中,由勾股定理得到:()2+()2=(a)2,從而可求得a:b=.
解:(1)∵四邊形ABCD、四邊形ECGF均為矩形,
∴∠G=∠DCB=90°.
∵BC=2CD=2a,CG=2GF=2b,
∴.
∴△FGC∽△DCB.
∴∠FCG=∠DBC.
∴BD∥CF.
(2)如圖1所示:連接AC,交BD于點O.
∵四邊形ABCD為矩形,
∴OC=OA.
又∵FC∥BD,
∴HF=AH.
∴點H是AF的中點.
(3)如圖2所示:連接CH,CA,AC與BD交于點O.
由勾股定理可知:FC==b,AC==a.
∵四邊形ABCD為矩形,
∴DB=AC=a,CO=AC=.
∵HO是△AFC的中位線,
∴HO=FC=.
∵,
∴CH==.
在△COH中,由勾股定理可知:HO2+CH2=OC2,即()2+()2=(a)2.
整理得:a2=.
∴a:b=.
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【題目】在平面直角坐標系中,點P(﹣2,3)向右平移3個單位長度后的坐標為( )
A. (3,6) B. (1,3) C. (1,6) D. (6,6)
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【題目】筆記本每本a元,買3本筆記本共支出y元,在這個問題中:
①a是常量時,y是變量;
②a是變量時,y是常量;
③a是變量時,y也是變量;
④a,y可以都是常量或都是變量;
上述判斷正確的有( )
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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【題目】已知:菱形OBCD在平面直角坐標系中位置如圖所示,點B的坐標為(2,0),∠DOB=60°.
(1)點D的坐標為 ,點C的坐標為 ;
(2)若點P是對角線OC上一動點,點E(0,﹣),求PE+PB的最小值.
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【題目】因式分解xy-4y的正確結(jié)果是( )
A. y(x+4)(x-4) B. y(x-4 ) C. y(x-2) D. y(x+2)(x-2)
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【題目】如圖,某公路隧道橫截面為拋物線,其最大高度為6米,底部寬度OM為12米.現(xiàn)以O(shè)點為原點,OM所在直線為x軸建立直角坐標系.
(1)直接寫出點M及拋物線頂點P的坐標;
(2)求這條拋物線的解析式;
(3)若要搭建一個矩形“支撐架”AD﹣DC﹣CB,使C、D點在拋物線上,A、B點在地面OM上,則這個“支撐架”總長的最大值是多少?
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