Question

如圖所示，有一個(gè)形如六邊形的點(diǎn)陣，它的中心是一個(gè)點(diǎn)，第二層每邊有兩個(gè)點(diǎn)，第三層每邊有三個(gè)點(diǎn)，依此類(lèi)推
（1）填寫(xiě)下表：

層次	1	2	3	4	5	6
該層對(duì)應(yīng)的點(diǎn)數(shù)
所有層的總點(diǎn)數(shù)

（2）寫(xiě)出第n層所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)數(shù)；
（3）寫(xiě)出六邊形的點(diǎn)陣共有n層時(shí)的總點(diǎn)數(shù)；
（4）如果六邊形的點(diǎn)陣共有n層時(shí)的總點(diǎn)數(shù)為397，你知道共有多少層嗎？

Answer 1

分析：根據(jù)六邊形有六條邊，則第一層有1個(gè)點(diǎn)，第二層有2×6-6=6（個(gè)）點(diǎn)，第三層有3×6-6=12（個(gè)）點(diǎn)，推而廣之即可求解．然后根據(jù)得到的通項(xiàng)公式求出相應(yīng)題目的解即可．

解答：解：第一層上的點(diǎn)數(shù)為1；
第二層上的點(diǎn)數(shù)為6=1×6；
第三層上的點(diǎn)數(shù)為6+6=2×6；
第四層上的點(diǎn)數(shù)為6+6+6=3×6；
…
第n層上的點(diǎn)數(shù)為（n-1）×6．
所以n層六邊形點(diǎn)陣的總點(diǎn)數(shù)為
1+1×6+2×6+3×6+…+（n-1）×6
=1+6[1+2+3+4+…+（n-1）]=1+6[（1+2+3+…+n-1）+（n-1+n-2+…+3+2+1）]÷2
=1+6×

n(n-1)

2

=1+3n（n-1）
（1）填表如下：

層次	1	2	3	4	5	6
該層對(duì)應(yīng)的點(diǎn)數(shù)	1	6	12	18	24	30
所有層的總點(diǎn)數(shù)	1	7	19	37	61	91

（2）根據(jù)分析可得第n層的點(diǎn)數(shù)之和為6（n-1）；
（3）根據(jù)分析可得共有n層時(shí)的點(diǎn)數(shù)之和為1+3n（n-1）；
（4）根據(jù)題意得：
1+3n（n-1）=397．
n（n-1）=132；
（n-12）（n+11）=0
n=12或-11．
故n=12，
答：共有12層．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圖形的變化類(lèi)問(wèn)題，主要考查了學(xué)生通過(guò)特例分析從而歸納總結(jié)出一般結(jié)論的能力．對(duì)于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的．通過(guò)分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解．