Question

如圖，對稱軸為直線的拋物線經(jīng)過點A（6，0）和B（0，4）．
（1）求拋物線解析式及頂點坐標(biāo)；
（2）設(shè)點E（x，y）是拋物線第四象限上一動點，四邊形OEAF是以O(shè)A為對角線的平行四邊形，求?OEAF的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量的取值范圍；
（3）若S=24，試判斷?OEAF是否為菱形；
（4）若點E在（1）中的拋物線上，點F在對稱軸上，以O(shè)、E、A、F為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，求出點E、F的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．（第（4）問不寫解答過程，只寫結(jié)論）

Answer 1

【答案】分析：（1）已知了拋物線的對稱軸解析式，可用頂點式二次函數(shù)通式來設(shè)拋物線，然后將A、B兩點坐標(biāo)代入求解即可．
（2）平行四邊形的面積為三角形OEA面積的2倍，因此可根據(jù)E點的橫坐標(biāo)，用拋物線的解析式求出E點的縱坐標(biāo)，那么E點縱坐標(biāo)的絕對值即為△OAE的高，由此可根據(jù)三角形的面積公式得出△AOE的面積與x的函數(shù)關(guān)系式進而可得出S與x的函數(shù)關(guān)系式．
（3）將S=24代入S，x的函數(shù)關(guān)系式中求出x的值，即可得出E點的坐標(biāo)和OE，OA的長；如果平行四邊形OEAF是菱形，則需滿足平行四邊形相鄰兩邊的長相等，據(jù)此可判斷出四邊形OEAF是否為菱形．
（4）根據(jù)O、E、A、F為頂點的四邊形能否為平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)得出即可．
解答：解：（1）因為拋物線的對稱軸是x=，
設(shè)解析式為y=a（x-）²+k．
把A（6，0），B（0，4）兩點坐標(biāo)代入上式，得 ，
解得a=，k=-．
故拋物線解析式為y=（x-）²-，頂點為（ ，-）．

（2）∵點E（x，y）在拋物線上，位于第四象限，且坐標(biāo)適合y=（x-）²-，
∴y＜0，
即-y＞0，-y表示點E到OA的距離．
∵OA是四邊形OEAF的對角線，
∴S=2S_△OAE=2××OA•|y|=-6y=-4（x-）²+25．
因為拋物線與x軸的兩個交點是（1，0）和（6，0），
所以自變量x的取值范圍是1＜x＜6．

（3）根據(jù)題意，當(dāng)S=24時，即-4（x-）²+25=24．
化簡，得（x-）²=．
解得x₁=3，x₂=4．
故所求的點E有兩個，將x=3代入拋物線方程得y=-4，
分別為E₁（3，-4），E₂（4，-4），
點E₁（3，-4）滿足OE=AE，
所以平行四邊形OEAF是菱形；
點E₂（4，-4）不滿足OE=AE，
所以平行四邊形OEAF不是菱形；
∴不一定，由S=24可得x=3或x=4，當(dāng)時x=3是菱形，當(dāng)x=4時不是菱形．

（4）E₁（2.5，-），F(xiàn)₁（3.5，）；E₂（），F(xiàn)₂（）；E₃（），F(xiàn)₃（）．
點評：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、圖形面積的求法、平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定等知識．綜合性強，難度適中．