Question

如圖，已知O（0，0）、A（4，0）、B（4，3）．動(dòng)點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)，以每秒3個(gè)單位的速度，沿△OAB的邊0A、AB、B0作勻速運(yùn)動(dòng)；動(dòng)直線l從AB位置出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度向x軸負(fù)方向作勻速平移運(yùn)動(dòng)．若它們同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到O時(shí)，它們都停止運(yùn)動(dòng)．
（1）當(dāng)P在線段OA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求直線l與以P為圓心、1為半徑的圓相交時(shí)t的取值范圍；
（2）當(dāng)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)直線l分別與OA、OB交于C、D，試問：四邊形CPBD是否可能為菱形？若能，求出此時(shí)t的值；若不能，請(qǐng)說明理由，并說明如何改變直線l的出發(fā)時(shí)間，使得四邊形CPBD會(huì)是菱形．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)P與直線l的距離d＜1分為點(diǎn)P在直線l的左邊和右邊，分別表示距離，列不等式組求范圍；
（2）四邊形CPBD不可能為菱形．依題意可得AC=t，OC=4-t，PA=3t-4，PB=7-3t，由CD∥AB，利用相似比表示CD，由菱形的性質(zhì)得CD=PB可求t的值，又當(dāng)四邊形CPBD為菱形時(shí)，PC=PB=7-3t，把t代入PA²+AC²，PC²中，看結(jié)果是否相等如果結(jié)果不相等，就不能構(gòu)成菱形．設(shè)直線l比P點(diǎn)遲a秒出發(fā)，則AC=t-a，OC=4-t+a，再利用平行線表示CD，根據(jù)CD=PB，PC∥OB，得相似比，分別表示t，列方程求a即可．

解答：解：（1）當(dāng)P在線段OA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，OP=3t，AC=t，
⊙P與直線l相交時(shí)，

4-(3t+t)＜1 (3t+t)-4＜1

，
解得

3

4

＜t＜

5

4

；

（2）四邊形CPBD不可能為菱形．
依題意，得AC=t，OC=4-t，PA=3t-4，PB=7-3t，
∵CD∥AB，
∴

CD

AB

=

OC

OA

，即

CD

3

=

4-t

4

，
解得CD=

3

4

（4-t），
由菱形的性質(zhì)，得CD=PB，
即

3

4

（4-t）=7-3t，
解得t=

16

9

，
又當(dāng)四邊形CPBD為菱形時(shí)，PC=PB=7-3t，當(dāng)t=

16

9

時(shí)，
代入PA²+AC²=（3t-4）²+t²=

400

81

，PC²=（7-3t）²=

25

9

，
∴PA²+AC²≠PC²，就不能構(gòu)成菱形．
設(shè)直線l比P點(diǎn)遲a秒出發(fā)，則AC=t-a，OC=4-t+a，
由CD∥AB，得CD=

3

4

（4-t+a），由CD=PB，得

3

4

（4-t+a）=7-3t，
解得t=

16-3a

9

，
PC∥OB，PC=CD，得

PC

OB

=

AP

AB

，即AB•PC=OB•AP，
3×

3

4

（4-t+a）=5×（3t-4），
解得t=

9a+116

69

，
則

16-3a

9

=

9a+116

69

，
解得a=

5

24

，即直線l比P點(diǎn)遲

5

24

秒出發(fā)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓的關(guān)系，勾股定理的運(yùn)用，菱形的性質(zhì)．關(guān)鍵是根據(jù)菱形的性質(zhì)，對(duì)邊平行，鄰邊相等，得出相似比及邊相等的等式，運(yùn)用代數(shù)方法，列方程求解．