Question

如圖，PB為⊙O的切線，B為切點(diǎn)，過(guò)B作OP的垂線BA，垂足為C，交⊙O于點(diǎn)A，連接PA、AO，并延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)E，與PB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D．

（1）求證：PA是⊙O的切線；

（2）若=，且OC=4，求PA的長(zhǎng)和tanD的值．

 

Answer 1

（1）證明：連接OB，則OA=OB，

∵OP⊥AB，

∴AC=BC，

∴OP是AB的垂直平分線，

∴PA=PB，

在△PAO和△PBO中，

∵，

∴△PAO≌△PBO（SSS）

∴∠PBO=∠PAO，PB=PA，

∵PB為⊙O的切線，B為切點(diǎn)，

∴∠PBO=90°，

∴∠PAO=90°，

即PA⊥OA，

∴PA是⊙O的切線；

（2）連接BE，

∵=，且OC=4，

∴AC=6，

∴AB=12，

在Rt△ACO中，

由勾股定理得：AO==2，

∴AE=2OA=4，OB=OA=2，

在Rt△APO中，

∵AC⊥OP，

∴AC²=OC•PC，

解得：PC=9，

∴OP=PC+OC=13，

在Rt△APO中，由勾股定理得：AP==3，

∴PB=PA=3，

∵AC=BC，OA=OE，

∴OC=BE，OC∥BE，

∴BE=2OC=8，BE∥OP，

∴△DBE∽△DPO，

∴，

即，

解得：BD=，

在Rt△OBD中，

tanD===．