Question

已知關(guān)于x的方程．

（1）若這個方程有實數(shù)根，求k的取值范圍；

（2）若這個方程有一個根為1，求k的值；

（3）若以方程的兩個根為橫坐標、縱坐標的點恰在反比例函數(shù)的圖象上，求滿足條件的m的最小值．

 

Answer 1

【答案】

(1)、k≤5；(2)、k₁=3-，k₂=3+；(3)-5．

【解析】

試題分析：本題易用一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系求解，是一個綜合性的題目，也是一個難度中等的題目．一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：△＞0⇔方程有兩個不相等的實數(shù)根；△=0⇔方程有兩個相等的實數(shù)根；△＜0⇔方程沒有實數(shù)根．（1）若一元二次方程有實數(shù)根，則根的判別式△=b2-4ac≥0，建立關(guān)于k的不等式，求出k的取值范圍．（2）將x=1代入方程，得到關(guān)于k的方程，求出即可，（3）寫出兩根之積，兩根之積等于m，進而求出m的最小值．

試題解析：

解：（1）由題意得△=[-2（k-3）]²-4×（k²-4k-1）≥0

化簡得-2k+10≥0，解得k≤5．

（2）將1代入方程，整理得k²-6k+6=0，解這個方程得k₁=3-，k₂=3+．

（3）設方程x²-2（k-3）x+k²-4k-1=0的兩個根為x₁，x₂，

根據(jù)題意得m=x₁x₂．又由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得x₁x₂=k²-4k-1，

即：m=k²-4k-1=（k-2）²-5，所以，當k=2時，m有最小值-5．

考點：根與系數(shù)的關(guān)系；一元二次方程的解；根的判別式；反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征．