Question

在正方形ABCD的對(duì)角線AC上截取一點(diǎn)E，使CE=CD．然后以ED所在的直線為對(duì)稱軸作△ADE的軸對(duì)稱圖形△FDE，DF與AC交于G點(diǎn)．
（1）求證：四邊形CDEF為等腰梯形．
（2）將正方形ABCD拉成菱形，如繼續(xù)按（1）中方法作圖，讓E點(diǎn)還在對(duì)角線AC上，且不與A、C兩頂點(diǎn)重合，問(wèn)（1）中結(jié)論是否繼續(xù)成立？如成立，試說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）證明：∵CE=CD，
∴∠CED=∠CDE，
∵△ADE與△FDE關(guān)于ED所在的直線對(duì)稱，
∴△ADE≌△FDE，
∴AE=EF，∠AED=∠FED，
又∵∠AED+∠CED=180°，
∴∠FED+∠CDE=180°，
∴EF∥CD且EF≠CD，
∴四邊形CDEF為梯形，
∵AB∥CD，∠BAC=∠DAC，AD=CD，
∴∠BAC=∠FEC，EC=AD，
∴∠EAD=∠FEC，
∴△AED≌△EFC（SAS），
∴ED=FC，
∴四邊形CDEF為等腰梯形；

（2）解：四邊形CDEF為等腰梯形．理由如下：
∵CE=CD，
∴∠CED=∠CDE，
∵△ADE與△FDE關(guān)于ED所在的直線對(duì)稱，
∴△ADE≌△FDE，
∴AE=EF，∠AED=∠FED，
又∵∠AED+∠CED=180°，
∴∠FED+∠CDE=180°，
∴EF∥CD且EF≠CD，
∴四邊形CDEF為梯形，
∵AB∥CD，∠BAC=∠DAC，AD=CD，
∴∠BAC=∠FEC，EC=AD，
∴∠EAD=∠FEC，
∴△AED≌△EFC（SAS），
∴ED=FC，
∴四邊形CDEF為等腰梯形；
分析：（1）由CE=CD，得∠CED=∠CDE，又由△ADE與△FDE關(guān)于ED所在的直線對(duì)稱，所以，△ADE≌△FDE，即AE=EF，∠AED=∠FED，又∠AED+∠CED=180°，所以，∠FED+∠CDE=180°，所以，EF∥CD且EF≠CD，所以四邊形CDEF為梯形；易證△AED≌△EFC（SAS），所以，ED=FC，所以，四邊形CDEF為等腰梯形；
（2）由CE=CD，得∠CED=∠CDE，又由△ADE與△FDE關(guān)于ED所在的直線對(duì)稱，所以，△ADE≌△FDE，即AE=EF，∠AED=∠FED，又∠AED+∠CED=180°，所以，∠FED+∠CDE=180°，所以，EF∥CD且EF≠CD，所以四邊形CDEF為梯形；易證△AED≌△EFC（SAS），所以，ED=FC，所以，四邊形CDEF為等腰梯形；
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等腰梯形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形及菱形的性質(zhì)，掌握正方形及菱形的對(duì)角線平分這組對(duì)角，是正確解答本題的關(guān)鍵．