Question

已知：如圖，AB為⊙O的直徑，弦AC∥OD，BD切⊙O于B，連接CD，
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若AC=2，OD=6，求⊙O的半徑．

Answer 1

（1）證明：如圖，連接OC．
∵OD∥AC（已知），
∴∠COD=∠ACO（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∠CAO=∠DOB（兩直線平行，同位角相等）．
又∵∠ACO=∠CAO（等邊對(duì)等角），
∴∠COD=∠DOB（等量代換）；
∵OD=OD，OC=OB，
∴△COD≌△BOD（SAS）
∴∠OCD=∠OBD（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）；
∵BD是⊙O的切線，
∴∠OBD=90°，
∴∠OCD=90°，
∴OC⊥CD，即CD是⊙O的切線；

（2）解：連接BC交OD于E．
∵CD和BD都是⊙O的切線，
∴CD=BD，∠CDO=∠BDO；
∴BC⊥OD，BE=CE，∠OBD=90°
∴△OBE∽△ODB
∴OB：OD=OE：OB （相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例）；
由BE=CE，OA=OB，
得OE為△ABC的中位線，
即OE=AC=1，
∴OB：6=1：OB 得OB=± （舍負(fù)）
∴⊙O的半徑為．
分析：（1）連接OC．欲證CD是⊙O的切線，只需證明OC⊥CD即可；
（2）連接BC交OD于E，先證明△OBE∽△ODB或△ABC∽△ODB，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及中位線的性質(zhì)，即可求出⊙O的半徑．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定與性質(zhì)．在解答（2）時(shí)，注意三角形中位線定義的運(yùn)用．