Question

如圖，矩形ABCD中，點P是線段AD上一動點，O為BD的中點，PO的延長線交BC于Q．
（1）求證：OP=OQ；
（2）若AD=8厘米，AB=6厘米，當AP為何值時，四邊形PBQD是菱形？

Answer 1

考點：矩形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),菱形的判定

專題：

分析：（1）證△PDO≌△QBO，推出OP=OQ即可；
（2）根據(jù)平行四邊形的判定得出四邊形是平行四邊形，求出DP=BP即可．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，AD∥BC，
∴∠PDO=∠QBO，
∵O為BD的中點，
∴DO=BO，
在△PDO和△QBO中

∠PDO=∠QBO DO=BO ∠POD=∠QOB

∴△PDO≌△QBO，
∴OP=OQ；

（2）解：當AP=

7

4

時，四邊形PBQD是菱形，
理由是：∵AD=8，AP=

7

4

，
∴DP=8-

7

4

=

25

4

，
在Rt△ABP中，由勾股定理得：BP=

62+( 7 4 )2

=

25

4

=DP，
∵OP=OQ，OD=OB，
∴四邊形PBQD是菱形，
即當AP=

7

4

時，四邊形PBQD是菱形．

點評：本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的判定，菱形的判定的應用，題目比較好，綜合性比較強．