Question

已知：如圖，在?ABCD中，點E、F分別在邊AD、AB上，∠ECB=∠FCD，CE、BA的延長線相交于點G．
求證：（1）BC²=BF•BG；
（2）BF•BA=DE•DA．

Answer 1

證明：
（1）∵在?ABCD中，AB∥CD，
∴∠G=∠ECD，
∵∠ECB=∠FCD，
∴∠BCF=∠ECD，
∴∠BCF=∠G，
∵∠B=∠B，
∴△BCF∽△BGC，
∴，
∴BC²=BF•BG；

（2）∵在?ABCD中，∠B=∠D，
又∵∠BCF=∠ECD，
∴△BCF∽△DCE，
∴，
∵BA=DC，DA=BC，
∴，
∴BF•BA=DE•DA．
分析：（1）根據(jù)四邊形ABCD可得AB∥CD，于是∠G=∠ECD，而∠ECB=∠FCD，利用等式性質可得∠BCF=∠ECD，從而有∠BCF=∠G，結合∠B是公共角，從而可證△BCF∽△BGC，利用比例線段可得BC²=BF•BG；
（2）利用平行四邊形的性質可得∠B=∠D，結合∠BCF=∠ECD，易證△BCF∽△DCE，利用比例線段可得，
而BA=DC，DA=BC，等量代換可得BF•BA=DE•DA．
點評：本題考查了平行四邊形的性質、相似三角形的判定和性質．解題的關鍵是證明△BCF∽△BGC、△BCF∽△DCE．