Question

（2012•義烏市）如圖，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D在⊙O上，點(diǎn)E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°．
（1）求∠ABC的度數(shù)；
（2）求證：AE是⊙O的切線；
（3）當(dāng)BC=4時(shí)，求劣弧AC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）由圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，即可求得∠ABC的度數(shù)；
（2）由AB是⊙O的直徑，根據(jù)半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，即可得∠ACB=90°，又由∠BAC=30°，易求得∠BAE=90°，則可得AE是⊙O的切線；
（3）首先連接OC，易得△OBC是等邊三角形，則可得∠AOC=120°，由弧長(zhǎng)公式，即可求得劣弧AC的長(zhǎng)．

解答：解：（1）∵∠ABC與∠D都是弧AC所對(duì)的圓周角，
∴∠ABC=∠D=60°； 

（2）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°．
∴∠BAC=30°，
∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，
即BA⊥AE，
∴AE是⊙O的切線；

（3）如圖，連接OC，
∵∠ABC=60°，
∴∠AOC=120°，
∴劣弧AC的長(zhǎng)為

120•π•4

180

=

8

3

π．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的判定、圓周角定理以及弧長(zhǎng)公式等知識(shí)．此題難度適中，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．