Question

如圖，AB是⊙O的直徑，C是弧BD的中點(diǎn)，CE⊥AB，垂足為E，BD交CE于點(diǎn)F．
（1）若AD=2，⊙O的半徑為3，求BD的長；
（2）求證：CF=BF．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)AB為直徑可得∠ADB=90°，然后利用勾股定理求出BD的長度即可；
（2）連AC，由AB是⊙O的直徑，則∠ACB=90°，而CE⊥AB，所以∠BAC=∠BCE；由C是

BD

的中點(diǎn)，得到∠DBC=∠BAC，于是∠BCE=∠DBC，即可得到CF=BF．

解答：解：（1）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∵AD=2，AB=2×3=6，
∴BD=

AB2-AD2

=

62-22

=4

2

；
（2）證明：連接AC，如圖，
∵∠ACB=90°，CE⊥AB，
∴∠BCE+∠ECA=∠BAC+∠ECA=90°，
∴∠BCE=∠BAC，
又∵C是

BD

的中點(diǎn)，
∴∠DBC=∠CDB，
∴∠BCE=∠DBC，
∴CF=BF．

點(diǎn)評：本題考查了圓周角定理．在同圓或等圓中，同弧和等弧所對的圓周角相等，一條弧所對的圓周角是它所對的圓心角的一半．也考查了直徑所對的圓周角為90度和等角的余角相等．