Question

已知，如圖①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且點B、A、D在一條直線上，連接BE、CD．
（1）求證：BE=CD；
（2）若M、N分別是BE和CD的中點，將△ADE繞點A按順時針旋轉，如圖②所示，試證明在旋轉過程中，△AMN是等腰三角形；
（3）試證明△AMN與△ABC和△ADE都相似．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為∠BAC=∠DAE，所以∠BAE=∠CAD，又因為AB=AC，AD=AE，利用SAS可證出△ABE≌△ACD，進而可得BE=CD；
（2）由（1）中△ABE≌△ACD，可得對應邊、對應角相等，進而得出△ABM≌△ACN，即可得出結論；
（3）先由（2）中△ABM≌△ACN，可得∠BAM=∠CAN，所以∠MAN=∠BAC，又因為AM：AB=AN：AC，利用兩組對應邊的比相等且相應的夾角相等的兩個三角形相似，證出△AMN∽△ABC；同理證出△ABC∽△ADE，即可得出△AMN∽△ABC∽△ADE．
解答：證明：（1）∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，
即∠BAE=∠CAD．
在△ABE與△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD，
∴BE=CD；

（2）由（1）得△ABE≌△ACD，
∴∠ABE=∠ACD，BE=CD．
∵M，N分別是BE，CD的中點，
∴BM=CN．
在△ABM與△ACN中，
，
∴△ABM≌△ACN，
∴AM=AN，
∴△AMN為等腰三角形；

（3）由（2）得△ABM≌△ACN，
∴∠BAM=∠CAN，
∴∠BAM+∠BAN=∠CAN+∠BAN，
即∠MAN=∠BAC，
又∵AM=AN，AB=AC，
∴AM：AB=AN：AC，
∴△AMN∽△ABC；
∵AB=AC，AD=AE，
∴AB：AD=AC：AE，
又∵∠BAC=∠DAE，
∴△ABC∽△ADE；
∴△AMN∽△ABC∽△ADE．
點評：本題主要考查了全等三角形的判定與性質，等腰三角形的判定，旋轉的性質，相似三角形的判定，綜合性較強，難度中等．熟練掌握全等三角形及相似三角形的判定方法是解題的關鍵．