Question

如圖1所示，一張三角形紙片ABC，∠ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜邊AB的中線CD把這張紙片剪成△AC₁D₁和△BC₂D₂兩個三角形（如圖2所示）.將紙片△AC₁D₁沿直線D₂B（AB）方向平移（點(diǎn)A、D₁ 、D₂、B 始終在同一直線上），當(dāng)點(diǎn)D₁于點(diǎn)B重合時，停止平移.在平移過程中，C₁D₁與BC₂交于點(diǎn)E,AC₁與C₂D₂、BC₂分別交于點(diǎn)F、P.

(1)當(dāng)△AC₁D₁平移到如圖3所示的位置時，猜想圖中的D₁E與D₂F的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

(2)設(shè)平移距離D₂D₁為x，△AC₁D₁與△BC₂D₂重疊部分面積為y，請寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式，以及自變量的取值范圍；

(3) 對于（2）中的結(jié)論是否存在這樣的x的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

解（1）.因?yàn)镃₁D₁// C₂D₂，所以∠C₁=∠AFD₂.

又因?yàn)椤螦CB=90⁰，CD是斜邊上的中線，

所以，DC=DA=DB，即C₁D₁=C₂D₂=BD₂=AD₁

所以，∠C₁=∠A，所以∠AFD₂=∠A

所以，AD₂=D₂F.同理：BD₁=D₁E.

又因?yàn)锳D₁=BD₂，所以AD₂=BD₁.所以D₁E = D₂E

（2）因?yàn)樵赗tABC中，AC=8,BC=6，所以由勾股定理，得AB=10

即AD₁=BD₂= C₁D₁=C₂D₂=5

又因?yàn)镃₂D₁=x，所以D₁E=BD₁=D₂F=AD₂=5-x

所以

在△BC₂D₂中，C₂到BD₂的距離就是△ABC的AB邊上的高，為.

設(shè)△BED₁的BD₁邊上的高為h，由探究，得BC₂D₂∽△BED₁，所以

所以.

又因?yàn)?sub>，所以.

又因?yàn)?sub>，.

所以，

而

所以

（3）  存在.當(dāng)時，即

整理，得解得，.

即當(dāng)時，重疊部分的面積等于原△ABC面積的.