如圖已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A(-1,0),B(3,0)兩點,與y軸交于點C(0,3).設(shè)拋物線的頂點為D,求解下列問題:
(1)求拋物線的解析式和D點的坐標(biāo);
(2)過點D作DF∥y軸,交直線BC于點F,求線段DF的長,并求△BCD的面積;
(3)能否在拋物線上找到一點Q,使△BDQ為直角三角形?若能找到,試寫出Q點的坐標(biāo);若不能,請說明理由.

【答案】分析:(1)可根據(jù)A,B的坐標(biāo),用交點式二次函數(shù)通式來設(shè)出拋物線的解析式,進(jìn)而可得出D的坐標(biāo);
(2)將B點代入,求出F點的坐標(biāo)(1,2),進(jìn)而得出DF的長,以及△BCD的面積;
(3)本題要分三種情況進(jìn)行討論.
①當(dāng)∠BDQ=90°時,此時DQ是圓G的切線,設(shè)DQ交y軸于M,那么可通過求直線DM的解析式,然后聯(lián)立拋物線的解析式即可求出Q點的坐標(biāo).
②當(dāng)∠DBQ=90°時,可過Q作x軸的垂線,設(shè)垂足為P,先設(shè)出Q點的坐標(biāo),然后根據(jù)相似三角形DHB和BPQ得出的關(guān)于DH,BP,BH,PQ的比例關(guān)系式,求出Q點的坐標(biāo).
③當(dāng)∠BQD=90°時,顯然此時Q,C重合,因此Q點的坐標(biāo)即為C點的坐標(biāo).綜上所述可得出符合條件的Q點的坐標(biāo).
解答:解:(1)設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+1)(x-3),
把(0,3)代入,
解得a=-1,
解析式為y=-x2+2x+3,
則點D的坐標(biāo)為(1,4),

(2)設(shè)直線BC的解析式為y=kx+3,把B(3,0)代入,
解得k=-1,所以F(1,2),
∴DF=4-2=2,
△BCD的面積=;

(3)①點C即在拋物線上,CD=,BC=,
∵CD2+BC2=20,BD2=20,
∴CD2+BC2=BD2,
∴∠BCD=90°,
這時Q與C點重合點Q坐標(biāo)為Q(0,3),
②如圖②,若∠DBQ為90°,作QP⊥x軸于P,DH⊥x軸于H
可證Rt△DHB∽Rt△BPQ,
=
則點Q坐標(biāo)(k,-k2+2k+3),
,
化簡為2k2-3k-9=0,
即(k-3)(2k+3)=0,
解之為k=3或,
得Q坐標(biāo):
③若∠BDQ為90°,
如圖③,延長DQ交y軸于M,
作DE⊥y軸于E,DH⊥x軸于H,
可證明△DEM∽△DHB,
,

,
∵點M的坐標(biāo)為,DM所在的直線方程為,
與y=-x2+2x+3的解為,
得交點坐標(biāo)Q為,
即滿足題意的Q點有三個,(0,3),(-,-),(,).
點評:此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、相似三角形的判定和應(yīng)用、函數(shù)圖象交點等知識,綜合性強,考查學(xué)生分類討論,數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.
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(1)求出y=mx2+nx+p的解析式,試猜想出一般形式y(tǒng)=ax2+bx+c關(guān)于y軸對稱的二次函數(shù)解析式(不要求證明);
(2)若AB中點是C,求sin∠CMB;
(3)如果一次函數(shù)y=kx+b過點M,且于y=mx2+nx+p相交于另一點N(i,j),如果i≠j,且i2-i+z=0和j2-j+z=0,求k的值.

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(1)求拋物線的解析式和D點的坐標(biāo);
(2)過點D作DF∥y軸,交直線BC于點F,求線段DF的長,并求△BCD的面積;
(3)能否在拋物線上找到一點Q,使△BDQ為直角三角形?若能找到,試寫出Q點的坐標(biāo);若不能,請說明理由.

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如圖已知拋物線y=ax2+bx+3(a≠0)與x軸交于點A(1,0)和點B(-3,0),與y軸交于點C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點D的坐標(biāo)為(-2,0).問:直線AC上是否存在點F,使得△ODF是等腰三角形?若存在,請直接寫出所有符合條件的點F的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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如圖已知拋物線y=mx2+nx+p與y=x2+6x+5關(guān)于y軸對稱,并與y軸交于點M,與x軸交于點A和B.
(1)求出y=mx2+nx+p的解析式,試猜想出一般形式y(tǒng)=ax2+bx+c關(guān)于y軸對稱的二次函數(shù)解析式(不要求證明);
(2)若AB中點是C,求sin∠CMB;
(3)如果一次函數(shù)y=kx+b過點M,且于y=mx2+nx+p相交于另一點N(i,j),如果i≠j,且i2-i+z=0和j2-j+z=0,求k的值.

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