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(2010•德州)已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象經過點A(3,0),B(2,-3),C(0,-3).
(1)求此函數的解析式及圖象的對稱軸;
(2)點P從B點出發(fā)以每秒0.1個單位的速度沿線段BC向C點運動,點Q從O點出發(fā)以相同的速度沿線段OA向A點運動,其中一個動點到達端點時,另一個也隨之停止運動.設運動時間為t秒.
①當t為何值時,四邊形ABPQ為等腰梯形;
②設PQ與對稱軸的交點為M,過M點作x軸的平行線交AB于點N,設四邊形ANPQ的面積為S,求面積S關于時間t的函數解析式,并指出t的取值范圍;當t為何值時,S有最大值或最小值.

【答案】分析:(1)知道二次函數的解析式經過三點,把三點坐標代入就能求得函數解析式,由解析式寫出對稱軸.
(2)①過點B,點P作BD⊥OA,PE⊥OA,垂足分別為D,E,要使四邊形ABPQ為等腰梯形,只需PQ=AB,算出時間t.
②設對稱軸與BC,x軸的交點分別為F,G,根據題意求出PF=QG,MFP≌△MGQ,由S=S四邊形ABPQ-S△BPN列出函數關系式,求出最小值.
解答:解:(1)∵二次函數y=ax2+bx+c的圖象經過點C(0,-3),
∴c=-3,
將點A(3,0),B(2,-3)代入y=ax2+bx+c

解得:a=1,b=-2.
∴y=x2-2x-3,
配方得:y=(x-1)2-4,
所以對稱軸直線為:x=1;

(2)①由題意可知:BP=OQ=0.1t,
∵點B,點C的縱坐標相等,
∴BC∥OA,
過點B,點P作BD⊥OA,PE⊥OA,垂足分別為D,E,
要使四邊形ABPQ為等腰梯形,只需PQ=AB,
∵BD⊥OA,PE⊥OA,垂足分別為D,E,
∴△ABD和△QPE為直角三角形,
當PQ=AB時,又∵BD=PE,
∴Rt△ABD≌Rt△QPE(HL),
∴QE=AD=1.
∵ED=BP=0.1t,DO=BC=2,
∴EO=2-0.1t,
又∵QE=OE-OQ=(2-0.1t)-0.1t=2-0.2t,
∴2-0.2t=1,
解得t=5.
即t=5秒時,四邊形ABPQ為等腰梯形.
②設對稱軸與BC,x軸的交點分別為F,G.
∵對稱軸x=1是線段BC的垂直平分線,
∴BF=CF=OG=1.
又∵BP=OQ,
∴PF=QG.
又∵∠PMF=∠QMG,∠MFP=∠MGQ=90°,
∴△MFP≌△MGQ(AAS),
∴MF=MG,
∴點M為FG的中點,
∴S=S四邊形ABPQ-S△BPN=S四邊形ABFG-S△BPN
由S四邊形ABFG==
,
∴S=
又∵BC=2,OA=3,
∴點P運動到點C時停止運動,需要20秒.
∴0<t≤20.
∴當t=20秒時,面積S有最小值3.
點評:本題主要考查二次函數的應用,會求二次函數的對稱軸等一系列問題,求最值問題一般可以轉化為函數的最值問題,此題比較繁瑣,做題需要耐心.
練習冊系列答案
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科目:初中數學 來源:2010年全國中考數學試題匯編《反比例函數》(06)(解析版) 題型:解答題

(2010•德州)●探究:
(1)在圖中,已知線段AB,CD,其中點分別為E,F.
①若A(-1,0),B(3,0),則E點坐標為______;
②若C(-2,2),D(-2,-1),則F點坐標為______;
(2)在圖中,已知線段AB的端點坐標為A(a,b),B(c,d),求出圖中AB中點D的坐標(用含a,b,c,d的代數式表示),并給出求解過程.
●歸納:
無論線段AB處于直角坐標系中的哪個位置,當其端點坐標為A(a,b),B(c,d),AB中點為D(x,y)時,x=______,y=______.(不必證明)
●運用:
在圖中,一次函數y=x-2與反比例函數的圖象交點為A,B.
①求出交點A,B的坐標;
②若以A,O,B,P為頂點的四邊形是平行四邊形,請利用上面的結論求出頂點P的坐標.

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B.0,1,2,4
C.0,1,2,3,4
D.0,1,2,4,5

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