Question

已知二次方程x²+ax+b=0有兩個(gè)連續(xù)的整數(shù)根，二次方程x²+bx+a=0有整數(shù)根，求a，b的值．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次方程的整數(shù)根與有理根

專題：

分析：可設(shè)x²+ax+b=0的兩根為n，n+1（n是整數(shù)），則2n+1=-a，n（n+1）=b，則方程x²+bx+a=0可以改寫為x²+n（n+1）x-（2n+1）=0①，分兩種情況：（1）若n≥0，則方程①有一正一負(fù)兩根；（2）若n≤-1，則方程①有兩個(gè)負(fù)整數(shù)根；進(jìn)行討論即可得到a，b的值．

解答：解：設(shè)x²+ax+b=0的兩根為n，n+1（n是整數(shù)），則2n+1=-a，n（n+1）=b，
則方程x²+bx+a=0可以改寫為x²+n（n+1）x-（2n+1）=0①，
（1）若n≥0，則方程①有一正一負(fù)兩根，
設(shè)其正整數(shù)根為m，則
m²+n（n+1）m-（2n+1）=0②，
即mn²+（m-2）n+（m²-1）=0，
∵n是整數(shù)，
∴△=（m-2）²-4m（m²-1）≥0，
整理為4m≤

4

m2

+1，
若m≥2，則上式不成立，故0＜m＜2，
則m=1，
將m=1代入方程②得n²-n=0，
解得n=0，1．
當(dāng)n=0時(shí)，a=-1，b=0；
當(dāng)n=1時(shí)，a=-3，b=2；
（2）若n≤-1，則方程①有兩個(gè)負(fù)整數(shù)根，
即△=n²（n+1）²+4（2n+1）應(yīng)為完全平方數(shù)，且為偶數(shù)，
由于n≤-1，則n²（n+1）²+4（2n+1）＜[n（n+1）]²，
故n²（n+1）²+4（2n+1）≤[n（n+1）-2]²，
因此n²+3n≤0，即n=-3，-2，-1，
經(jīng)檢驗(yàn)，n=-2，-1時(shí)，方程①無實(shí)根，
當(dāng)n=-3時(shí)，方程①為x²+6x+5=0，
其兩根為-1，-5，此時(shí)a=5，b=6，
綜合（1）（2）可知，a，b的值為-1，0或-3，2或5，6．

點(diǎn)評(píng)：考查了一元二次方程的整數(shù)根和有理根，關(guān)鍵是設(shè)x²+ax+b=0的兩根為n，n+1（n是整數(shù)），則2n+1=-a，n（n+1）=b，將方程x²+bx+a=0改寫為x²+n（n+1）x-（2n+1）=0①，以及分類思想的應(yīng)用．