Question

如圖1，已知直線y=2x與拋物線交于點A（3，6）.
（1）求直線y=kx的解析式和線段OA的長度；
（2）點P為拋物線第一象限內(nèi)的動點，過點P作直線PM， 交x軸于點M（點M、O不重合），交直線OA于點Q，再過點Q作直線PM的垂線，交y軸于點N。試探究：線段QM與線段QN的長度之比是否為定值？如果是，求出這個定值，如果不是，說明理由；
（3）如圖2，若點B為拋物線上對稱軸右側(cè)的點，點E在線段OA上（與點O、A不重合），點D（m，0）是x軸正半軸上的動點，且滿足∠BAE=∠BED=∠AOD。繼續(xù)探究：m在什么范圍時，符合條件的E點的個數(shù)分別是1個、2個？

Answer 1

解：（1）把點A（3，6）代入y=kx 得6=3k   ∴k=2       ∴y=2x  
OA=_。
（2）是一個定值 ，理由如下：

過點Q作QG⊥y軸于點G，QH⊥x軸于點H 。
①當(dāng)QH與QM重合時，顯然QG與QN重合，
此時；
②當(dāng)QH與QM不重合時，
∵QN⊥QM，QG⊥QH不妨設(shè)點H，G分別在x、y軸的正半軸上
∴∠MQH =∠GQN  又∵∠QHM=∠QGN=90°
∴△QHM∽△QGN      
∴
P、Q在拋物線和直線上不同位置時，同理可得；
（3 ）延長AB交x軸于點F，過點F作FC⊥OA于點C，過點A作AR⊥x軸于點R

∵∠AOD=∠BAE  
∴AF=OF    ∴OC=AC=OA=
∵∠ARO=∠FCO=90°   ∠AOR=∠FOC
∴△AOR∽△FOC 
∴
∴
∴點F（，0）
設(shè)點B（x，），過點B作BK⊥AR于點K，則△AKB∽△ARF
∴
即
解得x₁=6 ，x₂=3（舍去）∴點B(6，2)        
∴BK=6-3=3  AK=6-2=4     ∴AB=5         (求AB也可采用下面的方法)
設(shè)直線AF為y=kx＋b（k≠0）
把點A（3，6），點F（，0）代入得k=，b=10     
∴
∴（舍去）
 ∴B（6，2）∴AB=5  
(其它方法求出AB的長酌情給分)
在△ABE與△OED中
∵∠BAE=∠BED    
∴∠ABE＋∠AEB=∠DEO＋∠AEB  
∴∠ABE=∠DEO
∵∠BAE=∠EOD    
∴△ABE∽△OED  
設(shè)OE=x，則   
由△ABE∽△OED得
∴ 
∴
∴頂點為（，）
如圖，當(dāng)時，OE=x=，此時E點有1個；
當(dāng)m=時，任取一個m的值都對應(yīng)著兩個x值，此時E點有2個。
∴當(dāng)時，E點只有1個  ，
當(dāng)時，E點有2個 。