Question

在直角坐標(biāo)系中，有以A（-1，-1），B（1，-1），C（1，1），D（-1，1）為頂點的正方形，設(shè)正方形在直線y=x上方及直線y=-x+2a上方部分的面積為S．
（1）求a=

1

2

時，S的值．
（2）當(dāng)a在實數(shù)范圍內(nèi)變化時，求S關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）由已知條件和題意，要求面積S的值，只要把三角形三個頂點坐標(biāo)求出來問題就解決了；
（2）由題意知直線y=x是定的，而y=-x+2a是動的且平行于y=-x移動，此時面積S也是動的，從而要分類討論，求出每種情況的面積表達式，根據(jù)幾何關(guān)系及三角形頂點坐標(biāo)易求S關(guān)于a的表達式．

解答：解：（1）當(dāng)a=

1

2

時，如圖1
直線y=x與y=-x+1的交點是E(

1

2

，

1

2

)，
∴S=

1

2

×1×

1

2

=

1

4

．  （2分）

（2）①當(dāng)a＜-1時，如圖2，△ADC的面積就是S．
∴S=

1

2

×2×2=2．  （3分）

②當(dāng)-1≤a＜0時，如圖3，直線y=x與y=-x+2a的交點是E（a，a），
∴EG=（1-|a|）=1+a AF=2（1+a），
∴S=S_△ADC-S_△AEF=2-

1

2

（1+a）×2（1+a）=2-（1+a）²．（6分）

③當(dāng)0≤a＜1時，如圖4，
直線y=x與y=-x+2a的交點是E（a，a），
∴EG=1-a，CF=2（1-a），
∴S=S_△CEF=

1

2

（1-a）×2（1-a）=（1-a）²（9分）

④當(dāng)a≥1時，如圖5，S=0．  （11分）
∴S關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式為S=

2 (a＜-1) 2-(1+a)2 (-1≤a＜0) (1-a)2 (0≤a＜1) 0 (a≥1)

．（12分）

點評：此題看似復(fù)雜其實很簡單，主要考查一次函數(shù)的性質(zhì)及三角形的面積公式，還考查了直線的平移和分類討論的思想．