Question

已知拋物線y=ax²+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C（0，3），過(guò)點(diǎn)C作x軸的平行線與拋物線交于點(diǎn)D，拋物線的頂點(diǎn)為M，直線y=x+5經(jīng)過(guò)D、M兩點(diǎn)．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）連接AM、AC、BC，試比較∠MAB和∠ACB的大小，并說(shuō)明你的理由．

Answer 1

分析：（1）由于CD∥x軸，將C點(diǎn)縱坐標(biāo)代入直線DM的解析式中，即可得到D點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得到拋物線的對(duì)稱(chēng)軸方程，再根據(jù)直線DM的解析式，即可求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可利用待定系數(shù)法求得該拋物線的解析式．
（2）根據(jù)拋物線的解析式，可求得A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到OA=OC=3，故△OAC是等腰直角三角形，若過(guò)B作BP⊥AC于P，則△ABP也是等腰直角三角形，即可得到AP、BP的長(zhǎng)，進(jìn)而可求得CP的值，從而在Rt△BCP中求得∠BPC的正切值；同理，可過(guò)M作x軸的垂線，根據(jù)M點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到∠MAB的正切值，然后比較這兩個(gè)角的正切值即可得到兩個(gè)角的大小關(guān)系．

解答：解：（1）∵CD∥x軸且點(diǎn)C（0，3），
∴設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，3），
∵直線y=x+5經(jīng)過(guò)D點(diǎn)，
∴3=x+5，
∴x=-2，
即點(diǎn)D（-2，3），
根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性，設(shè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為M（-1，y），
又∵直線y=x+5經(jīng)過(guò)M點(diǎn)，
∴y=-1+5，y=4、即M（-1，4），
∴設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）²+4，
∵點(diǎn)C（0，3）在拋物線上，
∴a=-1，
即拋物線的解析式為y=-x²-2x+3．（3分）


（2）作BP⊥AC于點(diǎn)P，MN⊥AB于點(diǎn)N；
由（1）中拋物線y=-x²-2x+3可得：
點(diǎn)A（-3，0），B（1，0），
∴AB=4，AO=CO=3，AC=3

2

，
∴∠PAB=45°；
∵∠ABP=45°，
∴PA=PB=2

2

，
∴PC=AC-PA=

2

；
在Rt△BPC中，tan∠BCP=

PB

PC

=2，
在Rt△ANM中，∵M(jìn)（-1，4），
∴MN=4
、∴AN=2，
tan∠NAM=

MN

AN

=2，
∴∠BCP=∠NAM，
即∠ACB=∠MAB．（8分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定以及解直角三角形的應(yīng)用，難度適中．