Question

【題目】如圖1，拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，已知點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)分別為A（﹣1，0）、B（3，0）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）在直線BC上方的拋物線上找一點(diǎn)P，使△PBC的面積最大，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）如圖2，連接BD、CD，拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E，過(guò)拋物線上一點(diǎn)M作MN⊥CD，交直線CD于點(diǎn)N，求當(dāng)∠CMN=∠BDE時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：將A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)代入y=ax2+bx+3得： ，解得：a﹣1，b=2．

∴拋物線的表達(dá)式為：y=﹣x2+2x+3

（2）

解：由題意設(shè)P（x，﹣x2+2x+3），過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，交直線BC于點(diǎn)Q．

將x=0代入拋物線的解析式得：y=3，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）．

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，將點(diǎn)B，C的坐標(biāo)代入得： ，

解得：k=﹣1，b=3．

∴直線CB解析式：y=﹣x+3，則Q（x，﹣x+3）

∴PQ=﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+3x．

∴S△BCD= PQOB= ×（﹣x2+3x）×3=﹣ （x﹣ ）2+ ．

∴當(dāng)x= 時(shí)，S△BCD取最大值，

此時(shí)P（ ， ）．

（3）

解：∵拋物線y=﹣（x﹣3）（x+1）=﹣x2+2x+3與與y軸交于點(diǎn)C，

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），頂點(diǎn)（1，4），E（1，0）

∴tan∠BDE= = ．

①當(dāng)點(diǎn)M在對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí)．

（i）作當(dāng)點(diǎn)N在射線CD上時(shí)，如圖2，過(guò)點(diǎn)N作y軸的垂線，垂足為G，

過(guò)點(diǎn)M作GN的垂線，垂足為H，則△CNG，△MNH均為等腰直角三角形．

∵∠CMN=∠BDE，

∴tan∠CMN=tan∠BDE= = ．

∴△CNG，△MNH相似比為1：2

設(shè)CG=a，則NG=a，NH=NH=2a，

∴M（3a，3+a﹣2a），即M（3a，3﹣a），

將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：﹣（3a）2+2×3a+3=3﹣a，解得：a=0（舍去）或a=

此時(shí)M（ ， ）．

（ii）若點(diǎn)N在射線DC上，如圖3，過(guò)點(diǎn)N作x軸的垂線l，分別過(guò)點(diǎn)M、C作GN的垂線，垂足為H、G，則△CNG，△MNH均為等腰直角三角形，

∵∠CMN=∠BDE，

∴tan∠CMN=tan∠BDE= = ，

∴△CNG與△MNH相似比為1：2

設(shè)CG=a，則NG=a，NH=NH=2a，

∴M（a，3﹣a﹣2a），即M（a，3﹣3a），

將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：﹣a2+2a+3=3﹣3a，解得：a=0（舍去）或a=5，此時(shí)M（5，12）

②當(dāng)點(diǎn)M在對(duì)稱軸左側(cè)時(shí)．

∵∠CMN=∠BDE＜45°，

∴∠MCN＞45°，

∵拋物線左側(cè)任意一點(diǎn)K，都有∠KCN＜45°，

∴點(diǎn)M不存在．

綜上可知，點(diǎn)M坐標(biāo)為（ ， ）或（5，12）

【解析】（1）將A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)代入得到關(guān)于a、b的方程組，可求得a、b的值；（2）由題意設(shè)P（x，﹣x2+2x+3），過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，交直線BC于點(diǎn)Q．先求得直線BC的解析式，則得到Q（x，﹣x+3），然后列出△BCD的面積與x的關(guān)系式，利用配方法可求得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)以及△CBD的面積的最大值；（3）首先求得C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），頂點(diǎn)（1，4），E（1，0）則tan∠BDE= ．①當(dāng)點(diǎn)M在對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí)，作當(dāng)點(diǎn)N在射線CD上時(shí)，如圖1，過(guò)點(diǎn)N作y軸的垂線，垂足為G，過(guò)點(diǎn)M作GN的垂線，垂足為H，則△CNG，△MNH均為等腰直角三角形．設(shè)CG=a，用含a的式子表示點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可求得a的值；若點(diǎn)N在射線DC上，如圖，過(guò)點(diǎn)N作x軸的垂線l，分別過(guò)點(diǎn)M、C作GN的垂線，垂足為H、G，則△CNG，△MNH均為等腰直角三角形，同理可求得此時(shí)a的值；②當(dāng)點(diǎn)M在對(duì)稱軸左側(cè)時(shí)，拋物線左側(cè)任意一點(diǎn)K，都有∠KCN＜45°．