Question

如圖①，AB為⊙O的直徑，Q為AB上任意一點(diǎn)，射線PQ⊥AB于Q，C為QP上任意一點(diǎn)，直線AC與⊙O交于點(diǎn)D，過(guò)D作⊙O的切線交QP于P．
（1）當(dāng)Q在OB上時(shí)，求證：PC=PD；
（2）當(dāng)Q在點(diǎn)O時(shí)（如圖2），PC=PD是否成立？
（3）當(dāng)Q在點(diǎn)B時(shí)（如圖3），結(jié)論是否成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，則OD⊥PD．欲證PC=PD，只需證∠PCD=∠PDC即可．∠PCD=∠ACQ=90°-∠A；∠PDC=90°-∠ODA．因?yàn)镺A=OD，所以∠A=∠ODA．問(wèn)題得證；（2）、（3）同理可證結(jié)論成立．
解答：證明：（1）連接OD．
∵PD是⊙O的切線，
∴∠PDC+∠ADO=90°．
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO．
∴∠PDC+∠A=90°．
∵PQ⊥AB，∴∠ACQ+∠A=90°．
∵∠ACQ=∠PCD，
∴∠PCD=∠PDC．
∴PC=PD．

（2）Q在點(diǎn)O時(shí)，結(jié)論成立．連接OD．
∵PD是⊙O的切線，
∴∠PDC+∠ADO=90°．
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO．
∵PQ⊥AB，
∴∠ACO+∠A=90°．
∵∠ACO=∠PCD，
∴∠PCD=∠PDC．
∴PC=PD．
∴Q在點(diǎn)O時(shí)，結(jié)論成立．

（3）Q在點(diǎn)B時(shí)，結(jié)論也成立．
連接OD．
∵PD是⊙O的切線，
∴∠ODP=90°．
∴∠PDC+∠ADO=90°．
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO．
∵PQ⊥AB，
∴∠ACB+∠A=90°．
∴∠ACB=∠PDC．
∴PC=PD．
∴Q在點(diǎn)B時(shí)，結(jié)論也成立．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)、等腰三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，運(yùn)用發(fā)散思維對(duì)知識(shí)進(jìn)行拓展，很具訓(xùn)練價(jià)值．