Question

（2013•荊州）已知：關(guān)于x的方程kx²-（3k-1）x+2（k-1）=0
（1）求證：無論k為何實數(shù)，方程總有實數(shù)根；
（2）若此方程有兩個實數(shù)根x₁，x₂，且|x₁-x₂|=2，求k的值．

Answer 1

分析：（1）確定判別式的范圍即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系表示出x₁+x₂，x₁x₂，繼而根據(jù)題意可得出方程，解出即可．

解答：（1）證明：①當k=0時，方程是一元一次方程，有實數(shù)根；
②當k≠0時，方程是一元二次方程，
∵△=（3k-1）²-4k×2（k-1）=（k+1）²≥0，
∴無論k為何實數(shù)，方程總有實數(shù)根．

（2）解：∵此方程有兩個實數(shù)根x₁，x₂，
∴x₁+x₂=

(3k-1)

k

，x₁x₂=

2(k-1)

k

，
∵|x₁-x₂|=2，
∴（x₁-x₂）²=4，
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4，即

9k2-6k+1

k2

-4×

2(k-1)

k

=4，
解得：

k+1

k

=±2，
即k=1或k=-

1

3

．

點評：本題考查了根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題，這些用到的知識點是需要我們熟練記憶的內(nèi)容．